§ 28. Kugel und Kugelkreis. 
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9. Damit die beiden Ebenen (u') und (u") konjugierte Polar 
ebenen in Bezug auf den imaginären Kugelkreis (10) sind, mufs 
die Gleichung bestehen: 
(11) u/u -|- u 2 ' u 2 " -f- u 3 ' U g " = 0. 
Nun stellen u x ', u 2 ', u 3 ' die Richtungscosinus der Normalen 
dar, welche vom Anfangspunkte des Koordinatensystems auf die 
Ebene (u') gefällt werden kann; dieselbe Bedeutung haben die 
Koordinaten Uj", u 2 ", u 3 " für die Ebene (u"). Sind aber X, //, v 
und X, fi , v' die Richtungscosinus zweier Geraden, die den 
Winkel v mit einander bilden, so ist bekanntlich; 
XX -f- fifi' -\- vv' — cos v. 
Die Gleichung (11) sagt also aus, dafs die beiden Geraden, 
deren Richtungscosinus (u/, u 2 ', u 3 ') und (u 1 ", u 2 ", u 3 ") sind, 
auf einander senkrecht stehen. Nun bilden zwei Ebenen den 
selben Winkel, wie irgend zwei ihrer Senkrechten; somit dürfen 
wir sagen: 
Wenn zwei Ebenen konjugierte Polar ebenen in Bezug 
auf den imaginären Kugelkreis sind, so stehen sie auf 
einander senkrecht. 
10. Wenn (u') und (u") zwei beliebige eigentliche Ebenen 
sind, so dürfen wir 
(12) 
u, u. 
+ U 2 'u 2 " -f u c 
COS V 
setzen, und es giebt v den Winkel an, den die beiden Ebenen 
mit einander bilden. Die beiden Ebenen (u -f- co x u v ) und 
(u' + co 2 u"), welche durch den Schnitt der Ebenen (u') und (u") 
gehen, sind Tangentialebenen an den imaginären Kugelkreis, wenn 
co 1 und co 2 die Wurzeln der Gleichung sind: 
(13) co 2 + 2oo (Uj' u x " + u 2 ' u 2 " + u 3 'u 3 ,/ ) -{-1 = 0. 
Da wir infolge der Gleichung (12) diese Gleichung auch in 
der Form schreiben können: 
co 2 -R 2co cos v 1 = 0, 
so dürfen wir setzen: 
co, = — cos v 
i sin v, a> 2 = — cos v -j- i sin v; 
i 0J i 
es ist also —- 
co n 
cos v i sin V 
cos v — i sin V 
2vi 
== (cos v -{- i sin v) 2 = e , oder 
(13) v = 
ln 
^2, 
2i 
Killing', Lehrbuch der analyt. Oeometrie. II. 
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