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§ 28. Kugel und Kugelkreis. 
Der Winkel v der beiden Ebenen (u) und (u") ist also bis 
auf den konstanten Divisor 2i gleich dem natürlichen Logarithmus 
des Quotienten aus den beiden Wurzeln und <x> 2 der Glei 
chung (13), und dieser Quotient ist gleich dem Doppelverhältnisse, 
welches die beiden gegebenen Ebenen mit den beiden durch ihre 
Schnittlinie an den imaginären Kugelkreis gezogenen Tangential 
ebenen bilden. 
Der Winkel zweier Ebenen kann angesehen werden als der 
durch eine gewisse Konstante dividierte Logarithmus des Doppel 
verhältnisses, in welchem die gegebenen Ebenen zu den beiden 
Tangentialebenen stehen, welche durch die Schnittlinie der beiden 
ersten an den imaginären Kugelkreis gelegt werden können. 
11. Zwei unendlichferne Punkte (x/, x 2 ', x 3 ', 0) und (x 1 // , 
x 2 ", x 3 ", 0) sind konjugierte Pole in Bezug auf den imaginären 
Kugelkreis, wenn die Gleichung befriedigt wird: 
(14) x 1 'x 1 " + x 2 'x 2 "-fx 3 'x 8 " = 0. 
Nun kann man die Punkte einer Geraden, die vom Punkte 
(a, b, c, 1) ausgeht und die Richtungscosinus X, fj, v hat, durch 
die Gleichungen darstellen: 
x x = a + ¿r, x 2 = b -f- [ir, x 3 = c + vi, 
wo r den Abstand des Punktes (x 15 x 2 , x 3 , 1) vom Punkte 
(a, b, c, 1) angiebt. Für den unendlichfernen (x^, x 2 ', x 3 ', 0) 
dieser Geraden verhält sich 
x t ' ; x 2 ' : x 3 = X : : v. 
Sind X', ¡i', v' die Richtungscosinus einer zweiten Geraden 
und ist (x 1 // , x 2 ", x 3 ", ü) ihr unendlichferner Punkt, so gilt auch 
die Beziehung: 
Xj" ; x 2 " ; x 3 " = X' : ¡/ : v. 
Aus der Gleichung (14) folgt, dafs auch XX' -f- -f- rv' — 0 
ist, und daraus geht hervor, dafs die beiden gegebenen Geraden, 
deren unendlichferne Punkte konjugierte Pole in Bezug auf den 
imaginären Kugelkreis sind, einen rechten Winkel mit einander 
bilden. 
Zwei gerade Linien sind unter einem rechten Winkel 
zu einander geneigt, wenn ihre unendlichfernen Punkte 
konjugierte Pole für den imaginären Kugelkreis sind.