§ 28. Kugel und Kugelkreis. 
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5) a) Um zu einer gegebenen Fläche die Parallelfiäche zu 
finden, errichtet man in jedem Punkte der Fläche die Normale 
(d. h. die Senkrechte auf der Tangentialebene) und schneidet auf 
jeder vom Berührungspunkte aus in derselben Richtung eine gleiche 
Strecke ab. Die Parallelfläche bildet hiernach den Ort der Mittel 
punkte aller Kugeln von konstantem Radius, welche die gegebene 
Fläche berühren. Entsprechende Tangentialebenen der gegebenen 
Fläche und ihrer Parallelfläche haben stets denselben Abstand. 
Nun haben parallele Ebenen die Koordinaten u 4 , u 2 , u 3 , die 
Richtungscosinus ihrer Senkrechten, gemein, während die Gröfsen 
u 4 sich um eine konstante Gröfse, den Abstand der Ebenen, 
unterscheiden. Demnach hat man, um die Parallelfläche zu einer 
Fläche, welche unter Anwendung von Hesseschen Ebenenkoordi 
naten u 4 , u 2 , u 3 , u 4 durch die Gleichung F (u 4 , u 2 , u 3 , u 4 ) = 0 
gegeben ist, durch dieselben Koordinaten darzustellen, in der 
gegebenen Gleichung u 4 durch u 4 fl- £ zu ersetzen. Hiernach 
erscheint die Gleichung der Parallelfläche in der Form: 
F ( U l> U 2> U 3> U 4 + £ ) = °- 
Für manche Untersuchungen kann es angebracht sein, diese 
Form zu Grunde zu legen; im allgemeinen wird man aber auch 
diese Gleichung homogen machen, indem man die Gleichung in 
der Form schreibt: 
F (u 4 , u 2 , u 8 , u 4 fl- £ Vuf fl- u| fl- u|) = 0. 
b) Wenn eine Fläche von der m ten Klasse ist, so ist ihre 
Parallelfläche im allgemeinen von der Klasse 2 m. 
c) Die beiden Flächen, welche man dadurch erhält, dafs man 
dieselbe Strecke auf der Normale nach verschiedenen Seiten ab 
trägt, sind im allgemeinen analytisch nur Teile derselben Fläche. 
d) Alle Parallelflächen zu derselben Fläche haben die vom 
unendlichfernen Kreise ausgehenden Tangentialebenen gemein 
schaftlich. 
(Setzt man u 2 fl- u| fl- u| = 0, so wird die Gleichung einer 
jeden Parallelfläche gleich dem Quadrat der gegebenen.) 
e) Die Parallelfläche zum Ellipsoid 
a 2 u 2 fl- b 2 u| -|- c 2 u| = u| 
hat die Gleichung: 
{(a 2 — fc 2 )u 2 fl- (b 2 — t 2 ) u 2 fl-(c 2 —e 2 )u| - u 2 } 2 
= 4e 2 u| (uf fl- u| fl- u|).