262 § 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung.
f) Die Gleichung der Parallelfläche zum elliptischen Para-
boloid
a 2 uf -j- b 2 u 2 — 2cu 3 u 4
ist:
(a 2 uf + b 2 u| — 2cu 3 u 4 ) 2 == 4c 2 t 2 u| (uf -(- u| -f- u|).
g) Bei den vorangehenden Entwicklungen haben wir nur die
Tangentialebenen und nicht die Punkte der Fläche benutzt; daher
gelten sie auch, wenn die Fläche durch eine Kurve ersetzt wird.
Wir erhalten in diesem Falle die sämtlichen Tangentialebenen
der gesuchten Fläche, indem wir zu sämtlichen Ebenen, welche
durch eine Tangente der Kurve hindurchgehen, in dem vorge
schriebenen Abstande die parallele Ebene konstruieren. Die neue
Fläche geht hierbei in eine Kanalfläche über. Um diese zu er
zeugen, läfst man den Mittelpunkt einer Kugel mit gegebenem
Radius sich auf der gegebenen Kurve bewegen; diejenige Fläche,
von der alle diese Kugeln berührt werden, ist die gesuchte. Für
den Fall, dafs der Mittelpunkt sich auf einer Ellipse bewegt, hat
man in e) nur c = 0 zu setzen,
§ 29.
Das Hauptaxenproblem für die Flächen zweiter Ordnung.
1. In § 19 haben wir bereits die sämtlichen Arten von
Flächen zweiter Ordnung charakterisiert und für jede einzelne
Art in Cartesischen Koordinaten eine ihr eigentümliche Gleichungs
form angegeben. Diese Form blieb aber bei gewissen Änderungen
des Koordinatensystems ungeändert. So war beim Ellipsoid der
Anfangspunkt bestimmt; die Axen unterlagen aber keiner andern
Beschränkung, als dafs sie ein Tripel konjugierter Durchmesser
bilden mufsten. Bei einem Paraboloid konnte man den Anfangs
punkt noch beliebig auf der Fläche wählen; dann war eine Axe
vollständig bestimmt, eine zweite konnte aber noch willkürlich
in einem Strahlenbüschel angenommen werden. Wir konnten
aber auf dem dort angegebenen Wege nicht unmittelbar ersehen,
ob sich unter den hiernach gestatteten Koordinatensystemen ein
rechtwinkliges befindet. Bei der hohen Bedeutung, welche die
rechtwinkligen Koordinaten für die Metrik besitzen, gewährt es
hohes Interesse, zu wissen, ob die charakteristische Form auch
