2b4 § 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
keine Schwierigkeit, nachdem die erste gelöst ist; es handelt sich 
also im wesentlichen nur um die Lösung der ersteren. 
Diejenigen rechtwinkligen Koordinaten, bei deren Anwendung 
die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung in der einfachsten 
Form erscheint, nennen wir die Flauptaxen der Fläche. Als 
wesentlichsten Bestandteil des Problems, die Hauptaxen einer 
solchen Fläche zu suchen, dürfen wir daher die Aufgabe hin 
stellen : 
A) Nachdem die Gleichung einer Fläche zweiter 
Ordnung in rechtwinkligen Koordinaten x, y, z gegeben 
ist, soll unter Beibehaltung des Anfangspunktes ein 
neues rechtwinkliges Koordinatensystem so bestimmt 
werden, dafs die Gleichung der Fläche bei Benutzung 
des neuen Systems die Glieder mit xy, xz und yz nicht 
mehr enthält. 
3. Wir wollen das Problem noch in einigen andern Formen 
aufstellen. Die Werte, welche A, B, F in der Gleichung (2) 
annehmen, hangen von den Koefficienten G, H, I, K in der 
Gleichung (1) nicht ab. Ebenso bleiben die quadratischen Glieder 
in der Gleichung eines Kreises ungeändert, wenn man irgend ein 
anderes rechtwinkliges Koordinatensystem benutzt. Demnach 
dürfen wir in der Gleichung der Fläche (1) und in der einer 
beliebigen Kugel nur die quadratischen Glieder in Betracht ziehen 
und diese durch homogene lineare Ausdrücke umgestalten. Wir 
können somit das Problem A) durch das folgende ersetzen: 
B) Die beiden quadratischen Formen 
F — Ax 2 -f- By 2 -|- Gz 2 -j- 2Dyz 2Exz 4" 2Fzy 
*P = x 2 + y* -f z 2 
durch homogene lineare Gleichungen so umzugestalten, 
dafs die zweite Form ungeändert bleibt und die erste 
nur die Quadrate der Veränderlichen enthält. 
4. Die Gleichung (1) dürfen wir, um sie homogen zu machen, 
auch in der Form schreiben: 
Ax^ -F Bx| ~F Cx| -F 2Dx 2 x 3 -F 2Ex 4 x 3 2Fx 1 x 2 
+ 2Gx x x 4 + 2Hx 2 x 4 -F 2Ix 3 x 4 + Kx| = 0. 
Flieraus ersehen wir, dafs die unendlichferne Kurve der Fläche 
die Gleichung hat: 
Ax 2 ~F By 2 ~F Cz 2 ~F 2Dyz 4~ 2Exz ~F 2Fxy = 0.