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§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
Da die sechs Gröfsen § 2 , § 3 , q 1} ?] 2 , r/ 3 nicht sämtlich 
gleich null sein können, mufs 1 = 0 sein, oder jede Wurzel der 
Gleichung (7) ist reell. 
9, Wir suchen jetzt die Werte von X t , X 2 , X 3 , welche zu 
einer Wurzel co gehören. Zu dem Ende bezeichnen wir den 
Koefficienten von a lt —co in der linken Seite von (7), die wir 
gleich A setzen wollen, durch A x j ; nennen ebenso A x 2 den Koeffi- 
cienten von a 12 in dieser Determinante, und A l3 den von a 13 
u. s. w. 
Wenn die Unterdeterminanten nicht sämtlich verschwinden, 
so müssen die Gleichungen bestehen: 
*1 
: ¿2 
03 
il 
An 
• ^12 
■ ^13 
: X 2 
: X 3 — 
A*x 
: A 2 2 
• A 2 3 
: X 2 
03 
1 
Ä31 
: A 3 2 
• A 33 . 
Gleichungen 
ersetzen 
wir durch die 
folgende 
Xf : X, 
X 2 
: X x X 3 = 
= A 
11 ^ 
12 • ^ 
1 3 
/ 2 ^i • 
; ^-2^3 = 
= A 
21 ' ^ 
2 2 • Ä 
2 3 
X 3 X x : 
^3^2 • ^3 _ 
= A 
31 • ^ 
3 2 : ^ 
3 3' 
Nachdem wir etwa gesetzt haben: 1\ — l uA 11 , folgt zunächst: 
X l X 2 —/uA 12 , X 1 X 3 — [iA 13 . Nun ist allgemein ai* = a xi ; es 
mufs also auch A iX = A xl sein für alle Marken i, x. Demnach 
ergiebt sich aus den Proportionen der zweiten und der dritten 
Reihe, dafs auch ist: X\ = l uA 22) X 2 X 3 =[tA 23 , X\—(iA 33 . 
Diese Gleichungen 
(8) X%=/jzI 22 , = i uA 33 , 
^'2^3 === 23’ ^ 3 ^ 1 == 15 ^ 1 ^ 2 == 1 2 
stellen die Koordinaten des unendlichfernen Punktes (¿ 1? X 2 , X 3 , 0) 
in symmetrischer Weise vermittelst der Unterdeterminanten der 
Determinante (7) dar. 
10. Jetzt seien co 1 und co 2 zwei verschiedene Wurzeln der 
Gleichung (7); zu co 1 möge nach den Gleichungen (8) das Wert 
system X x , X 2 , X 3 und zu co 2 das Wertsystem f/ lf /.i 2 , f/ 3 ge 
hören. Es mögen somit die Gleichungen bestehen: 
a i 1^1 H - ^1 2^2 "4“ a i 3^3 == 05 1^1 
a 2 1 ^ 1 H - a 2 2 ^ 2 ”4“ a 2 3 ^ 3 === ^1^2 
a 3 1 ^ 1 H _a 32^2 + a 33^3 = «1^8 
und