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§ 8. Die Geraden und die Ebenen des Raumes. 
Punktes 1; p/ . . . p 4 " die des Punktes 2, so bestehen die Glei 
chungen : 
Pi = (* + P) Pi' — PP/ 
(1) Pa = U + p) Pa' — QV-i" 
P.3 = (1 ~p p) Ps — (>p 3 
P4 = (1 + Q) P4' — pp/, 
wo p das Verhältnis angiebt, nach welchem die Strecke 02 
im Punkte 1 geteilt wird und wo wieder -——— = ^ ist. 
1 -p q 02 
2. Sind drei Punkte (a, ... a 4 ), (bi ... b 4 ), (c 4 . . . c 4 ) ge 
geben, die nicht in einer geraden Linie liegen, so verbinde man 
einen beliebigen Punkt (p t . . . p 4 ) in der durch die drei Punkte 
bestimmten Ebene mit dem Punkte (a) durch eine gerade Linie 
und bestimme den Schnittpunkt (d x . . . d 4 ) dieser Geraden mit 
der Verbindungslinie der Punkte (b) und (c). Da die Punkte (b), 
(c) , (d) in gerader Linie liegen, so bestehen die Gleichungen: 
di = (1 -f- q) b 4 — pcj 
d 2 = (1 -p p) t>2 — pc 2 
ds = (1 + p) b 3 — pc 3 
d 4 = (1 —f- p) b 4 — pc 4 , 
wo p das Schnittverhältnis ist, nach welchem die Strecke (de) 
im Punkte (b) geteilt wird. Auch die Punkte (a), (d), (p) gehören 
einer geraden Linie an; daher mufs auch sein: 
Pi — (1 -p o) d 4 — oa 4 
p 2 = (1 -p o) d 2 — öa 2 
Ps — (1 ~p ö) d 3 — öa 3 
p 4 — (1 ~P ö) d 4 — öa 4 , 
wo die von den Punkten (p) und (a) begrenzte Strecke im Punkte 
(d) nach dem Verhältnisse o geteilt wird. Indem man jetzt setzt: 
(1 + p) (1 + °) ~ i w , — P (1 + ö ) = G — 0 — 
gehen hieraus die Gleichungen hervor: 
Pi — -p ^bj -p vC\ 
/ o \ ?2 — -p [ib 2 -p VC 2 
Ps — ^3 “P /'b 3 -p VC 3 
p 4 === ¿a 4 —p |wb 4 —p i^c 4 . 
4. Für einige spätere Untersuchungen ist es von Wichtigkeit, 
die geometrische Bedeutung der Koefficienten /1, n, v anzugeben.