§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
277 
schwindende Wurzeln hat, so läfst sie sich direkt nicht an wenden, 
sondern macht es notwendig, dafs man auf eines der andern 
Probleme zurückgeht. 
Übungen: 
1) Man führe die angegebenen Untersuchungen durch für 
die Flächen: 
a) 5x 2 + 6y 2 -f 7z 2 — 4xy — 4yz — 6 = 0. 
b) 5x 2 — y 2 -j- z 2 -f- 4xy -j- b xz + 2x -f- 4y 6z = 8. 
c) 10 (x 2 -(- y 2 4 z2 ) — bxz 4- 6yz — 28x — 26y — 34z 
4 43 = 0. 
2) a) Man lege der Untersuchung die Gleichung zu Grunde: 
ayz 4" ßxz 4* 7 x y — U 
b) Diese Gleichung stellt ein ein- oder zweischaliges Hyper 
boloid dar, jenachdem das Produkt aßy negativ oder positiv ist. 
c) Speciell wähle man a = 1, ß = — / = 6 oder a — 3, 
ß = y= Ü2. 
d) Man untersuche die Fläche: 
yz -p zx xy — x — 2y -— 3z = 0. 
3) a) Wenn ein Flächenbüschel zweiter Ordnung zwei Kugeln 
enthält, so sind alle ihre Flächen Kugeln. 
b) Wenn in einem Flächenbüschel zweiter Ordnung eine 
Kugel vorkommt, so haben ihre Flächen parallele Axen. 
c) In diesem Falle kann man unter Anwendung rechtwinkliger 
Koordinaten die Gleichungen zu Grunde legen: 
x 2 _|_ y2 4_ z 2 _ m 2 
ax 2 4- ßy 2 4 yz 2 4- 2ax 4- 2by -f- 2cz = 1. 
d) Ein solcher Büschel enthält drei Paraboloide, deren Axen 
senkrecht gegen einander geneigt sind und von denen eines 
hyperbolisch, zwei elliptisch sind. 
e) In welchen Fällen treten Cylinder an die Stelle der Para 
boloide ? 
f) Man bestimme die Kurve der Mittelpunkte für den in c) 
angegebenen Büschel. 
g) Speciell setze man voraus, die beiden in c) angegebenen 
Flächen hätten denselben Mittelpunkt, und klassifiziere die Büschel, 
welche unter dieser Annahme noch möglich sind. 
4) a) Zwei Flächen zweiter Ordnung seien auf dasselbe recht 
winklige Koordinatensystem bezogen; wann giebt es zu jedem