§ 3. Die Geraden und die Ebenen des Raumes. 
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Zu dem Ende wollen wir die Punkte (a), (b), (c), (d), (p) mit 
A, B, C, D, P der Reihe nach bezeichnen; dann ist 
_ PD PD 
” DA ~ AD' 
Wir bezeichnen noch die von P auf die Geraden BC, CA 
und AB gefällten Senkrechten mit q 1} q 2 , q 3 und die Höhen des 
Dreiecks ABC mit ,, rj 2 , ^3. Dann folgt: 
(4) X 
PD q 2i 
ÄD 7j\ 
Nun würde man doch in den Gleichungen (3) zu denselben 
Koefficienten X, (/, v gelangt sein, wenn man statt der Hilfslinie 
AP die Hilfslinie BP oder CP gezogen hätte. Statt daher den 
Wert von n und v vermittelst der bekannten Werte von q und 0 
herzuleiten, kann man aus der Gleichung (4) unmittelbar schliefsen, 
dafs ist: 
( 5 ) 
q* 
q?. 
r h 
Aus den obigen Gleichungen folgt, dafs X -f- // -f- v = 1 ist; 
diese Gleichung ergiebt sich auch aus den Werten (4) und (5). 
4. Die Gleichungen (3) können als homogen lineare Glei 
chungen zwischen den vier Gröfsen — 1, X, fi, v betrachtet 
werden. Diese sind nur dann mit einander vereinbar, wenn die 
aus den Koefficienten dieser Gröfsen gebildete Determinante ver 
schwindet. Damit also der Punkt (p) mit den Punkten (a), (b), 
(c) in einer Ebene liegt, mufs die Gleichung erfüllt sein; 
Pl 
ai 
bi 
Ci 
P2 
3-2 
b 2 
C 2 
P3 
3 3 
b 3 
c 3 
P4 
a 4 
b 4 
C4 
Wir nennen diese Bedingung die Gleichung der durch die 
Punkte (a), (b), (c) gelegten Ebene; wie wir sehen, ist sie homogen 
linear in den Senkrechten pi . , , p 4 . 
5. Um diese Gleichung in einer zweiten Weise herzuleiten, 
gehen wir entsprechend der in I § 3, 3 (S. 14) durchgeführten 
Betrachtung von drei Ebenen 1, 2, 0 aus, die sich in einer geraden 
Linie schneiden. Von einem beliebigen Punkte M des Raumes 
fällen wir die Senkrechten auf diese drei Ebenen und auf die gemein 
schaftliche Schnittlinie; die ersten seien MN 1? MN 2 , MN 0 , die