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§ 5. Die allgemeinsten Tetraeder-Koordinaten. 
Die Bedingung dafür, dafs der Punkt (p) in die Ebene (r) 
fällt, wird nach § 3, 8 (S. 18) durch die Gleichung angegeben: 
Pl r » , P^ r 2 , P 3 r 3 p 4 r 4 _ 0 
DT + ”h7 + -h7 + “h7~ ’ 
wo h], h 2 , h 3 , h 4 die Höhen des Tetraeders sind. Diese Glei 
chung geht nach Einführung der Variabein x t . . . x 4 und u t ... u 4 
über in 
Xi Ui x 2 u 2 x 3 u 3 X4U4 = 0 
V\ hj [¿2^‘2h 2 n z v z hi -1 ~jM4V 4 h 4 
Damit diese Gleichung die Form annimmt: 
(3) X! Ui + X 2 U 2 -f X3U3 + X4U4 == 0, 
mufs sein: 
(4) ^i^ihj = fi 2 v 2 h^ = fi ä y 3 h 3 = ,w 4 ^ 4 h4. 
Wir bezeichnen ein System von Punktkoordinaten (xi ... x 4 ) 
und ein System von Ebenenkoordinaten (u t ... u 4 ) als zu 
sammengehörig, wenn die Bedingung für das Zusammenfallen 
eines Punktes (x) und einer Ebene (u) durch die Gleichung (3) 
ausgedrückt wird. Dazu wird erfordert: 
a) dafs die Koordinatentetraeder dieselben sind, und 
b) dafs die Koefficienten ft x . . . ^4 und Vt . . . v4 in der 
Beziehung (4) zu einander stehen. 
2. Die Gleichungen (l) § 3 (S. 14) sollen der Reihe nach 
mit /¿i, fi2, (i?,, fi± multipliziert werden; dadurch gehen sie über 
in die folgenden: 
Xi = (1 + Q) Xi ' — pxi" 
x 2 = (1 + p)x 2 ' — px 2 " 
X 3 = (1 + Q) x 3 ' — i>x 3 " 
x 4 = (1 + o) X 4 ' — QX4". 
Hier sind (xi'...x 4 ') die Koordinaten eines Punktes 1, 
(x t " . . . x 4 ") die eines Punktes 2 und (xj, . . . x 4 ) die eines 
Punktes 0, der mit den Punkten 1 und 2 in gerader Linie liegt 
und die Strecke 12 nach dem Verhältnisse — q : (1 -j- p) teilt. 
Auf dieselbe Weise leiten wir aus den Gleichungen (3) § 3 
(S. 14) folgendes her: Sind (x'), (x"), (x'") drei beliebige Punkte 
1, 2, 3 und soll der Punkt 0, dessen Koordinaten Xi .. . x 4 sind, 
mit ihnen in einer Ebene liegen, so müssen die Gleichungen 
bestehen: