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§ 5. Die allgemeinsten Tetraeder-Koordinaten. 
die Koefficienten in dieser Gleichung verhalten sich wie die 
Koordinaten des Punktes. 
4. Die vier Gleichungen (8) können wir in eine einzige 
Gleichung zusammenfassen. Zu dem Ende gehen wir von den 
Gleichungen 
Xj —(— a 2 x 2 -(— a 3 X3 -E a 4 x 4 === 0 und b 4 x 4 4~b 2 x 2 4~ 83X3 4~ b 4 x 4 0 
aus. Sollen dies die Ebenen (u/ . . . u 4 ') und (uG . . . u 4 ") sein, 
so müssen sich zwei Koefficienten a und ß so bestimmen lassen, 
dafs die Gleichungen bestehen: 
(10) 
a t = «Ui , a 2 = «u 2 , a 3 = au 3 , a 4 = «u 4 
bi = ßu x ", b 2 =ßn 2 \ b 3 =ßu 3 ", b 4 = /9u 4 ". 
Wir multiplizieren die Gleichungen (8) der Reihe nach mit 
x 1} x 2 , x 3 , x 4 und addieren die erhaltenen Produkte. Damit der 
Punkt (x) der Ebene 0 angehört, mufs nach (3) die Relation be 
stehen : ^x, Ui + x 2 u 2 4- x 3 u 3 + x 4 u 4 = 0. Demnach müssen die 
Koordinaten eines jeden Punktes der Ebene 0 der Gleichung 
genügen: 
(pUj' + öu/) X x 4- (pU 2 4- ÖU 2 ") X 2 4- ((m s ' 4- öUg") X 3 
4- (pu 4 ' 4- öu 4 ")x 4 = 0; 
diese geht wegen der Beziehungen (10) über in: 
+ 
oder wenn wir 
a 4 x 4 -f a 2 x 2 4- a 3 x 3 —j~ ä 4 x 4 — A 
und b 4 x 4 4-b 2 x 2 4- b 3 x 3 4~b 4 x 4 = B setzen, dann die vorstehende 
Gleichung mit a multiplizieren und ^ = X setzen, in: 
(11) A + ;JB = 0. 
Schreibt man die Gleichungen zweier Ebenen kurz 
in der Form A = 0, B = 0, so stellt sich die Gleichung 
einer jeden Ebene, die durch die Schnittlinie der beiden 
gegebenen Ebenen geht, in der Form dar; A 4- = 0. 
Die Koordinaten einer vierten Ebene des Büschels mögen 
aus (8) erhalten werden, indem man die Koefficienten p, 0 durch 
q , 0' erhält.