§ 5. Die allgemeinsten Tetraeder-Koordinaten. 
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o>u 1 = b 11 v 1 + b 21 v 2 -f- b 31 v 3 -|- b 4 4 v 4 
(16 ) rou 2 ^ bl 2 V 1 +b 22 v 2 +b 32 v 3 +b 42 v 4 
^ o?u 3 = b 4 3 v 4 +b 23 v 2 -T b 33 v 3 -j- b 4 3 v 4 
am 4 = b 14 v 4 + b 24 v 2 + b 34 v 3 + b 44 v 4 . 
Sind x 4 , x 2 , x 3 , x 4 und u 4 , u 2 , u 3 , u 4 zusammenge 
hörige Punkt- und Ebenenkoordinaten, so werden auch 
die neuen Punktkoordinaten y 15 y 2 , y 3 , y 4 mit den neuen 
Ebenenkoordinaten zusammengehören, wenn man durch 
reciproke Transformationen, wie sie durch die Glei 
chungen (12) und (16) angegeben werden, zu den neuen 
Systemen übergeht. 
Übungen: 
1) Statt die Koordinaten Xj . . . x 4 aus den Senkrechten 
Pi . . . p 4 durch Multiplikation mit festen Konstanten gi . . . g 4 
herzuleiten, kann man sie auch als diejenigen Strecken definieren, 
welche von dem zu bestimmenden Punkte aus, zu vorgeschrie 
benen Richtungen parallel, bis zu den Koordinatenebenen ge 
zogen sind. 
a) Wenn Si der Schwerpunkt des Dreiecks 0 2 0 3 0 4 , S 2 
der von 0 4 0 3 0 4 , S 3 der von 0 1 0 2 0 4 und S 4 der von 0 4 0 2 0 3 
ist, und wenn die Koordinaten der Reihe nach parallel zu OiSj, 
0 2 S 2 , 0 3 S 3 , 0 4 S 4 gezogen sind, so soll man die Werte von 
fi 1 , g 2 , g 3 , g 4 bestimmen. 
b) Es sei x 4 parallel zu 1 4 , x 9 parallel zu 1 2 , x 3 zu 1 3 , x 4 
zu 1 4 , wo lj . . . 1 4 gegebene Halbgerade sind, und wo fi zur 
Ebene 0 2 0 3 0 4 unter dem Winkel a u 1 2 zu ChOgCü unter dem 
Winkel a 2 , 1 3 zu OjOgCü unter «3, U zu CüCüCEj unter 
<£ a 4 geneigt ist. Welche Werte haben jetzt die Koetficienten 
f*i ... 
2) Man darf auch als Koordinaten X! . . . x 4 die Strecken 
wählen, welche von dem zu bestimmenden Punkte aus nach den 
Koordinatenebenen je unter den Winkeln a l , a 2 , a 3 , a 4 gezogen 
werden können. Man gebe die Werte an, welche die Koelficienten 
gi . . . g 4 bei dieser Festsetzung erhalten. 
3) Als Koordinaten Xi . . . x 4 eines Punktes P w T ähle man 
mit Möbius die Volumina der Pyramiden 0 2 0 3 0 4 P, 0 3 0 4 0 4 P 5 
0 4 Q 1 0 2 P, CüCROgP, indem man jeden Rauminhalt mit dem