§ 7. Die Quotienten der Koordinaten als Doppelverhältnisse. 47 
Gleichung für x 2 — x 4 = 0 in x x + x :5 = 0 und für x 2 — x 3 = 0 
in x x + x 4 == 0 übergeht, so müssen die vier Koefficienten den 
selben Wert haben; sie ist also die Einheitsebene. 
Hatte man dieselbe Konstruktion für irgend drei andere, in 
einem Eckpunkte zusammenstofsende Kanten durchgeführt, so 
wäre man zu derselben Ebene gelangt; daher gilt der Satz; 
Sucht man auf jeder Kante eines Tetraeders den 
Schnittpunkt mit der durch die gegenüberliegende 
Kante und einen festen Punkt gelegten Ebene und be 
stimmt denjenigen Punkt, welcher zu diesem Schnitt 
punkte in Bezug auf die in der Kante gelegenen Eck 
punkte harmonisch liegt, so erhält man sechs Punkte, 
welche in einer Ebene liegen. 
Diejenige Ebene, welche dem festen Punkte gegenüber die 
in diesem Lehrsätze angegebene Lage hat, nennen wie die Har- 
monikalebene des Punktes in Bezug auf das Tetraeder. 
Hieraus geht hervor, dafs nur dann die Bedingung für das 
Zusammenfallen eines Punktes (xj und einer Ebene (u) in der 
Form: 
Xi Ui -f- X2U2 -)- X3U3 -p X4U4 = 0 
ausgedrückt werden kann, wenn die Einheitsebene die Harmonikal- 
ebene zum Einheitspunkte in Bezug auf das Koordinaten-Tetraeder 
ist. Umgekehrt genügt aber auch diese Lage, damit die Be 
dingungsgleichung die angegebene Form erhält. Wir können 
daher sagen: 
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs Punkt- 
und Ebenenkoordinaten zusammengehören, besteht darin, dafs 
a) beiden Systemen dasselbe Tetraeder zu Grunde liegt, 
b) die Einheitsebene die Harmonikalebene des Einheitspunktes 
für das Koordinaten-Tetraeder ist. 
5. Es sollen v x , v^, v a , v± wieder die vier eingeiührten 
Koefficienten sein, und mit s,, t 2 , £3, £4 sollen die Senkrechten 
bezeichnet werden, welche von den Punkten O l5 C) 2 , O s , 0 4 auf 
die Einheitsebene gefällt werden können. Dann mufs sein; 
(5) V X B X = i’ 2 £ 2 = J> 3 «S = *>4*4 • 
Sind wieder u 1 , u 2 , u 3 , u 4 die Koordinaten einer beliebigen 
Ebene und r l5 r 2 , r 3 , r 4 die von den Punkten O t , O25 0 3 , 0 4 
auf sie gefällten Senkrechten, so ist: