§ 7. Die Quotienten der Koordinaten als Doppelverhältnisse. 49 
Dann ist: 
x 2 x 3 
x = Tl ’ X = Ta ’ x“ “*»• 
^■4 ^-4 ^4 
Jetzt wird aber auch, wie man leicht sieht, der Keil 
(0 2 0 3 0 4 , 0 4 0 3 0 4 ) 
durch die Ebene 0 3 0 4 P nach dem Verhältnisse (J 4 ; ö 2 geteilt; 
somit ist: 
X I • X 2 ' T* ^ • 1/ 2 ) X . Xg —— . Tg J X 2 • Xg " ^2 • T g • 
Sollte der Punkt in der Ebene x 4 = 0, aber etwa nicht in 
der Ebene x 3 = 0 liegen, so bestimme man in gleicher Weise 
die Verhältnisse x 4 : x 3 und x 2 ; x 3 . 
Die zweite Methode benutzt den Einheitspunkt. Man legt 
durch eine jede Kante die beiden Ebenen, von denen die eine 
nach dem zu bestimmenden Punkte, die andere nach dem Ein 
heitspunkte geht; das Doppelverhältnis zwischen diesen beiden 
Ebenen und den durch die Kante gehenden Seiten des Tetraeders 
stellt das Verhältnis der entsprechenden Koordinaten dar. Auch 
jetzt sind von den sechs auf diese Weise erhaltenen Verhältnissen 
nur drei von einander unabhängig. 
7. Umgekehrt läfst sich nach beiden Methoden ein einziger 
Punkt finden, dessen Koordinaten gegebene Verhältnisse bilden, 
für den also bei gegebenen Werten von £ 4 , | 2 , g 3 , g 4 die Be 
ziehungen gelten: x 1 :x 2 :x 3 :x 4 =g 1 :g 2 :g 3 :g 4 . Beidemale 
erhalten wir sechs Ebenen, auf denen der gesuchte Punkt liegen 
mufs, und diese Ebenen gehen regelmäfsig durch einen eigent 
lichen oder uneigentlichen Punkt hindurch. 
Die Lage eines jeden Punktes ist also durch die 
Verhältnisse seiner Koordinaten eindeutig bestimmt. 
8. Dasselbe gilt von den Ebenen des Raumes. Die Verhält 
nisse der Koordinaten u, . . . u 4 liefern uns auf jeder Kante des 
Koordinaten-Tetraeders einen Punkt der Ebene, mag man von 
der ursprünglichen Definition der Gröfsen U[ . . . u 4 ausgehen 
oder den in 5. bewiesenen Satz benutzen. Da 
U l s "»T r 1 * U 3 =J V3> U 4 =^ 4 r 4 
ist, der Bruch r 4 : r 2 uns aber das Verhältnis angiebt, nach wel 
chem die Strecke 0 4 0 2 in ihrem Schnittpunkte mit der gegebenen 
Ebene geteilt wird, so ist dieser Schnittpunkt bekannt, sobald die 
Koefficienten v x , v 2 und das Verhältnis u 4 : u 2 gegeben sind. 
Kill in g, Lehrbuch der analyt. Geometrie. II. 4