§ 8. Spedelle Koordinatensysteme. 
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zu berücksichtigen. Vielfach nehmen aber hierbei die Verhält 
nisse der Koordinaten eine einfachere Bedeutung an, als in dem 
Falle, dafs alle Eckpunkte im Endlichen liegen. Aus diesem 
Grunde wollen wir auf solche Koordinatensysteme etwas genauer 
eingehen. 
2. Zunächst nehmen wir an, nur ein Eckpunkt des Tetraeders 
falle ins Unendlichferne. Es sollen demnach die Punkte O l3 O,, 
0 3 eigentliche Punkte sein; dagegen soll der Punkt 0 4 der un 
endlichferne Punkt der drei parallelen Axen OjX, 0 2 Y, 0 3 Z 
sein. Um den Einheitspunkt passend zu wählen, tragen wir auf 
den Axen O.X, CEY, O tj Z in negativer Richtung der Reihe nach 
die Strecken OiE^ 0 2 E 2 , 0 3 E 3 ab, von denen jede gleich der 
Längeneinheit ist. Jetzt lege man durch 0 2 , O s , E t , sowie 
durch 0 3 , Oi, E 2 und durch O., 0 2 , E 3 je eine Ebene und 
wähle den Schnittpunkt E dieser drei Ebenen zum Einheitspunkte. 
Durch den Punkt P und jede der drei Geraden 0 2 0 3 , 0 3 0. 
und 0.0, lege man eine Ebene; die erste von diesen schneide 
O.X in P,, die zweite schneide 0,Y in P 2 , die dritte schneide 
O s Z in P 3 . Alsdann ist der Bruch x t : x 4 gleich dem Doppel 
verhältnisse (0 2 0 3 :0 4 0.PE), oder weil 0 4 der unendlichferne 
Punkt der Geraden OiX ist und diese Gerade von der Ebene 
0 2 0 3 P in P. und von der Ebene 0,0 3 E in En geschnitten wird, 
gleich dem Bruch OjE] : O.P]. Ebenso ist 
x-2 : x t = 0,E, : 0,P, und x 3 : x 4 = 0 3 E 3 : 0 3 P 3 . 
Da aber die Strecken O.E., 0 2 E 2 und 0,.E 3 gleich der nega 
tiven Längeneinheit sind, so wird 
x 1 — 1 x 2 — 1 x 3 - 1 
x^orv r 4 -ö^T 
Die reciproken Abschnitte, welche die durch den zu bestim 
menden Punkt und je eine der drei Geraden 0 2 0 3 , 0 3 0 4 und 
0.0 2 gelegten Ebenen auf den Axen O.X, 0 2 Y und 0 3 Z ab 
trennen, können als Koordinaten des Punktes angesehen werden; 
in diesen Gröfsen ist die Gleichung einer jeden Ebene vom ersten 
Grade. 
Nur für die Punkte der Ebene 0i0 2 0 3 mufs man die Ver 
hältnisse x x :x 2 , x 3 :x 15 x 2 :x 3 berücksichtigen; über ihre Be 
deutung brauchen wir nichts mehr zu sagen.