Arcus, Bogen, Kreisbogen. 
108 Arcus, Bogen, Kreisbogen. 
Es ist nun 
« = 3,1393488 • d 
S = 3,1460880- d 
Die Zahl n liegt also zwischen 3,139... 
und 3,146... 
Die Elementar-Geometrie lehrt ferner, 
aus dem Umfang eines zum Durchmesser 
d gehörenden n seitigen reg. Vielecks 
(reg. Aecks) den Umfang des zu dem 
selben Durchm. d gehörenden 2 A ecks 
zu finden. Der Umfang des 2 A ecks 
im Kreise wird gröfser, der des 2 Aecks 
um den Kreis kleiner; durch wiederholte 
Verdoppelung, also von dem 48 eck zum 
96eck, von diesem zum 192eck u. s. f. 
erhält man die Grenzen von rt immer 
enger, und ergiebt sich so auf elementa 
rem synthetischen Wege die Zahl 7/ bis 
zu beliebiger Annäherung. 
3. Die Zahl n ist irrational, es ist ein 
commensurables Verhältnifs zwischen dem 
Durchmesser und der Peripherie eines 
Kreises nicht vorhanden. In Vega's Samm 
lungmathematischer Tafeln (1849) pag. 839 
ist 71 auf 140 Decimalstellen angegeben; 
in solcher Ausdehnung wird -n nirgend 
gebraucht. Auf 15 Decimalstellen ist 
71 = 3,14159 26535 89793 (1) 
log bi* 71 — 0,49714 98726 94134 (2) 
logn tz = 1,14472 98858 49400 (3) 
log br (logn 71) = 0,05870 30212 
4. Der Umfang des Kreises wird in 
360 Grade (360 0- ) getheilt, jeder Grad hat 
60 Minuten (60'), jede Minute hat 60 Se- 
cunden (60"). 
Der Kreisumfang hat demnach 360° 
= 21600' 
= 1296000” 
Diese Bogenmaafse sind zugleich die 
Maafse der den Bogen zugehörigen Centri- 
winkel. 
In der Trigonometrie und der Analysis 
wird jede Kreisfunction auf den Radius 
= der Einheit (r=l) bezogen. 
Demnach hat der Kreis umfang 
im Winkelmaafs 360° 
im Bogen (längen) maafs 
271 = 6,28318 53072 (4) 
log br— 0,79817 98734 
der Halbkreis 
im Winkelmaafs 180° 
im Bogenmaafs = n =3,14159 26536 
log br = 0,49714 98727 
der Quadrant 
im Winkelmaafs 90° 
im Bogenmaafs = ¿77 = 1,57079 63268 
logbr= 0,19611 98719 
5. Die trigonometrischen Tafeln geben 
die Bogen in Winkelmaafs an, die tri 
gonometrischen Functionen aber als Län 
gen für den Halbmesser = 1. Vega, 
pag. 315, hat z. B.: sin9° 20' = 0,1621779 
D. h. Wenn man in einem Kreise vom 
Halbmesser = l den Sinus eines Centri- 
winkels von 9° 20 zeichnet, so hat dieser 
Sinus eine Länge von 0,1621779 
Hat der Radius 1000 Fufs Länge, so 
hat der Sinus die Länge = 162,1779 Fufs. 
Im Vega, pag. 268, steht: 
logsin 9° 20' =9,2099917 
d. h. /o 5 0,1621779 = 9,2099917- 10 
= 0,2099917-1 
Ist nun die Länge eines Bogens gege 
ben, soll z. B. tg\x gefunden werden, wo 
x eine Länge ist, und findet man «=1,7325 
so hat man <</ f • 1,7325 = tg 2,59875 
Um diese Tangente in den Tafeln zu 
finden, mufs erst der Centri,/ (y) ermittelt 
werden, welcher der Bogenlänge 2,59875 
entspricht. 
Nun ist 77 : 2,59875 = 180° : y 
2,59875 
X180° 
‘ laher *= 3,141962... 
log 180 =2,2552725 
log 2,59875 = 0,4147645 
Summa =2,6700370 
log 71 =0,4971499 
i»uy 
= 2,1728871 
In den Tafeln findet man hieraus 
y = 148,8974° 
= 148°53' 50|" 
Nun ist lg 148° 53' 50'|” 
= —<y(180°- 148° 53' 501”) 
= -tg 31° 6 9 j” 
welche in den Tafeln angegeben ist. 
6. Es kommt häufig vor, dafs trigono 
metrische Linien in Bogen statt in Winkeln 
angegeben werden, und um den Berechnun 
gen für Verwandlung von Bogenmaafs in 
Winkelmaafs zu entgehen, hat man Hülfs- 
tafeln wie in Vega, pag. 304. 
Folgende Tafel ist gegen die Vega’sche 
dahin abgekürzt, dafs die Grade, Minuten 
und Secunden nur von 1 bis 10 voll 
ständig, von 10 ab aber nur von 10 zu 
10 angegeben sind.