Arcus, Bogen, Kreisbogen. 111 Arcus, Bogen, Kreisbogen. 
Bedeutet f den Werth einer Function 
fx von x, welcher entsteht, wenn man 
x = 0 setzt; desgl. 8 1 / 1 ; 9 2 f‘, & 3 f ...-c)' l f 
die Werthe des ersten, zweiten .... nten 
Differenzials der Function fx, in jedem 
x — 0 gesetzt, dann hat man die (Haklau- 
rin’sche) Reihe 
x n 
arc sin x = 0 + 1 
±0 
— ±0* f-1.—— 
1 1-2 1.2*3 
X* £P 5 £C° 
-f 9 ±o. 
1...4 1... 5 1... 
” ~7 ” ’ 8 
+ 225 
+ 11025. 
1... 7 
r±0< 
■±0 
1... 10 
+ : 
¡9 V- 
1.2.3.4 11 (l...n) 
Hier ist 
fx = arc sin x 
wird der Sinus = 0, so wird auch der 
Bogen =0, mithin f= 0 
Aus den obigen Reihen ersieht man, 
dafs, wenn überall x = Q gesetzt wird 
8Y= + 1 9 7 /‘=+225 
8*f= 0 8 8 /■= 0 
8Y= + 1 8 9 /’=+11025 
8Y-- 0 8‘°/ , = 0 
8Y= + 9 8‘Y=+893025 
87= 0 0 
B' 3 f=+108056025 
Die Maklaurin’sche Reihe ergiebt also 
Es ist sodann 
1 
+ 893025 
1... 11 
+ 108056025 
±0. 
x l 
1... 12 
1... 13*"' 
oder 
arcsinx = x-\- 
, + • 
9a: 5 
+ 
225a? 7 
1-2.3 1-2. ..5 1 1*2 ...7 
11025 a: 9 893025 a: 11 
+ 1-2. .79 + 1<2.. .Tl 
108056025 a: 13 
+ 1-2...13 + 
Betrachtet man die Entstehung der 
Zähler-Coefficienten aus den auf einander 
vorgenommenen Differenzirungen, so läfst 
sich leicht ein Gesetz ableiten, nach wel 
chem die Reihe fortschreitet: 
1-2-3-4-5 
225 
1-2-3 4-Ö-6-7 
11025 
2-4-67 
3-5-7 
1-2-3-4-5-6-7-8-9 
893025 
2-4-6-8-9 
3-5-7-9 
l-2-3-4-5-6-7-8-9-10.il 
108056025 
1-2-3. ..11-12-13 
2-4-6-810-11 
3-5-7-9-11 
mithin 
. 1-a: 3 3-a: 5 3-5-a: 7 
arc, ‘" x=x+ ^3 + M + ¥i^ 
3-5-7-a: 9 3-5-7-9-a: 11 
+ 2-4-6 ■ 8 • 9 + 2-4-6 • 8 -10-11 
3-5 7 9 11-a: 13 
+ - ; ;-x - "7irTS'+ - 
2-4-6 8-10-12-13 
10. Entwickelung des Bogens 
(,y = arc cos x) in eine Reihe nach fort 
laufenden Potenzen des cos=x. 
Das 
2-4-6 810-12 13 
allgemeine (nte) Glied ist: 
3-5-7...(2n-3) «2»—1 
2 4-6... (2n — 2) 2» —1 
Bezeichnet man den Bogen mit «, so 
ist x — sina, und man kann die Reihe 
auch schreiben 
lsin 3 « 3-sin 5 « 
3-5 sin 7 u 
Es ist 
8 arc cos x 
A® 
also = dem negativen Differenzial von 
arc sin x. Nun ist nach N0. 9 
V i+4**+l» 4 +A* 8 +AV 8 + • • • 
folglich 
— 1 / . ^ 1 1 3 ~4 S ™6_ 3 5 _8 
\ l— x i~ 1 ? X » X TS* T?? x 
und es wird die Rechnung wie in N0. 9 
durchgeführt: