Arcus, Bogen, Kreisbogen. 114 Arcus, Bogen, Kreisbogen. 
Dies Resultat erhält man auch durch 
folgende einfache Betrachtung: 
Ist x = tga die Unveränderliche, so sei 
a—f cot « 
dann ist auch ~ — a =f(col ( — «) ^ 
=fi l 3 «) 
oder « = 
f{tga) 
da nun ct = f(cotct) 
Werth 
so erhält man 
f 1 i 1 
K 2 i sec u ' 2* 
3 sec 3 « 
+ 
oder 
2*4*5 sec 5 « 
....] 
2*3 a; 3 
+ 
2*4*5a: 5 
+ 
■■■■] 
cosec « 
1 
« = 
2*3 cosec 3 « 
3 
2*4*5 cosec 5 « 
+ .... 
oder 
1 , 1 , 3 , 
arc cosec x = b sr Q “l + ¿T A ~T~i+ • • • • 
x 2*3 r 2•4•5a:' , 
15. Entwickelung des Bogens 
(i/= arc sinv x) in ei ne Reihen ach fort 
laufenden Potenzen des sinus ver 
sus — x. 
Schreibt man in die Formel No. 10 für 
arc cos « statt cos a den ihm gleichen 
Werth 1 — sinva, so erhält man: 
■=t-[ 
(1—sinv «) 3 
2*3 
(1 — sinv ß) + 
, 3(1 — sinv «) 5 t 
^ 2*4*5 
•] 
so ist u=f(cota)=——f(tg«) 
Ein Kreisbogen ist also = dem Quadrant 
weniger derjenigen Function seiner Cotan- 
gente, welche allein denselben Bogen 
ausdrückt, wenn statt der Cotangente die 
Tangente als urveränderlich genommen 
wird. 
13. Entwickelung des Bogens 
(y = arc sec x) in eineReihe nach fo rt- 
laufenden Potenzen der sec—x. 
Schreibt man in die Formel No. 10 für 
arc cos a statt cos a den ihm gleichen 
oder 
arc{sinv = x)-—~ [OL-aJ-p-^-g- 
30-^1 
2-4-5 T J 
16. Entwickelung des Bogens 
(</ = arc cosv x) in eine Reihe nach 
fortlauf ende n Potenzen des cosinus 
versus — x. 
Schreibt man in die Formel No. 9 für 
arc sin « statt sin « den ihm gleichen 
Werth 1 — cosv«, so erhält man: 
(1—cosva) 3 
a = (1 — cosv «) -f- 
+ 
oder 
arc (cosv x) = (1 — a-) -(- 
2.3 
3 (1 — cosv ß) 
2-4*5 
"b* 
(l-*) 3 
2*3 
, 3(1 — a:) 5 , 
‘ 2*4*5 
17. Es ist No. 2 der elementaren Weise 
gedacht worden, auf welche man zu dem 
Werthe von n kommen kann. Die vor 
stehend entwickelten Reihen liefern n 
auf analytischem und schnellerem Wege. 
A. Legt man die Formel No. 9 zu 
Grunde 
l*a 3 3a 5 
arc sinx-x~{- U 
14. Entwickelung des Bogens 
(j/=«rccosecx)in eine Reihe nach fort 
laufenden Potenzen der Cosecanle 
— X. 
Schreibt man in die Formel No. 9 für 
arc sin « statt sin a den ihm gleichen 
Werth —-—, so erhält man: 
+ 
2*3 
3*5* 
2*4* 
, + **. 
2*4*6*7 
so hat man nach Lehren der Geometrie 
arc 30° für sin=±; es ist aber 
arc 30°= ln, 
daher 
G) 9 
ÜL = , , 0)? , 3 
6 ^ ' 2*3 2 
+im 7 +.- 
71 = 6' 
+ 6' 
+ 6* 
+ 6' 
iS 
3 
1280 
5 
4*5 1 2*4*6*7 
= 3,0 
= 0,125 
= 0,0140625 
=0,0020926339 . .. 
14336 
+ 6 -5-8^4 =0 > 00086603M -- 
3,1415111723... 
Man sieht hieraus, dafs jeder Summand 
eine Decimalstelle richtig giebt, jedoch 
ist auf diese Weise die Berechnung auf 
eine gröfsere Anzahl Decimalen immer 
noch langwierig. Man verschafft sich aber 
einige Erleichterung, wenu man die Reihe 
für n folgend schreibt: