Arithmetische Reihe. 
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Arithmetische Reihe. 
Bezeichnet man das nte Glied einer R. 
mit w, so ist « = « + (77 — l)d 
* = t 71 [2o + (n - 1) d] 
s=4-77(« + «) 
7. Von den 5 Zahlen a. d, u, n, s 
können immer 2 gefunden werden, wenn 
3 gegeben sind, und es ist nicht schwer, 
aus den obigen dreien die übrigen 17 Glei 
chungen für die Auffindung zweier belie 
biger Unbekannten zu entwickeln, weshalb 
ich nur die Resultate hier her setze: 
1) «=« + (77 —l)rf 
2) « = — ~ ± d 2 + « (a — d) + 2 ds 
3) u = 2 • ~ — a 
n 
.. S , n — 1 
4) « = d 
» 2 
°) 5 »[2a-f-(n — l)d] 
6 v ^ _(« + a)(« + rf-a) 
' ' 2d 
7) s = jn(fl-f«) 
8 ) * = y [2«-(i*-l)d] 
9) a = m — (n — 1) d 
10) « = — ±]/*d* + u («-f d) — 2</s 
11) « = —— 4(n — l)rf 
n 
12) « = — - u 
13) n=^+ i 
14) w= ^[- 2ß + rf± l / (2«-d) 2 +8</5] 
15) » = 
2d 
2s 
«+ u 
16 ) n = ~[2u + d ± ]/(2« + (/)* — 8rfi] 
17) d= U ^ 
' 71-1 
18) dJlf± a) . (w -g) 
2 s — (« + «) 
19) 
71 (71 — 1) 
20 
77 (77 — 1) 
In Betreff der doppelten Vorzeichen 
der y in den 4 Ausdrücken No. 2, 10, 14 
und 16 ist Folgendes durch Beispiele zu 
erläutern. Man denke sich die R.: 
.. ..-15--10--5-0- + 5-1-10 +15.. .. 
Hier ist d—5 
Wenn «=-50 
77 = + 16 
genommen wird, so ist die R. gegeben in : 
1 2 10 11 12..... 16 
-50-45 —5±0 + 5 +25 (A) 
Aus No. 1 erhält man u = +25 
aus No. 5 „ „ s = —200 
Für gegeben : d= + 5; «=-50 und s=-200 
5 55 
erhält man aus No. 2:u = — ± — = -f25 
und - 30 
u = + 25 entspricht der obigen R. (A) 
Für 77 = 30, hierzu « = — 50 uudd=+5 
giebt aus No. 13: 77 = 5 
also die R.: 
12 3 4 5 
-50-45-40-35 -30 (B) 
welche ebenfalls s = — 200 liefert. 
Für gegeben: d=5; « = 25; j=-200 
5 105 
erhält man aus No. 10: « = -)—-±-—- 
* 2 2 
= + 55 und —50 
« = — 50 entspricht der R. (A) 
Für « = + 55, hierzu d = + 5, « = 25 
erhält man aus No. 13: 77 = —5 
Die R. ist also 
—5 -4 -3 -2-10 1 
25-30-35-40.45-50-55 (C) 
Die Summe ist freilich eine andere als 
— 200, und es ist von vorn herein zu 
ersehen, dafs bei den gegebenen Gröfsen: 
« — —50, d=+5 und s = — 200 das positive 
Vorzeichen der y nur aus der Form ent 
springt, für das Beispiel aber nicht pafst. 
Die Summe beträgt 280. Setzt man diese 
für s in No. 10, so mufs zugleich « mit 
« vertauscht werden, und man erhält 
5 45 
« = + -^-±- — = + 25 und —20 
« = +25 entspricht wieder der R. (C); 
« = -20 erfordert ti = 16 Glieder; n 
als Stellenzahl = — 14. 
Die Summe dieser R., wenn man « = — 20; 
« = 55 und 7i=+16 setzt, erhält man aus 
No. 7: 
s = + 280, wie sie in (C) wirklich ist. 
Setzt man für die R. (A) d = h; « = — 50; 
s = — 200, so erhält man aus No. 14: 
77 = +16 und +5 
Der erste Werth + 16 entspricht der R. 
(A), der zweite + 5 der R. (B). 
Setzt man für die R. (A) d=+5; 
« = + 25; s=—200 und sucht n, so erhält 
man aus No. 16: 
55±105 , , „ 
77=———-=+16 und —5 
Der Werth +16 entspricht der R. (A), 
der zweite Werth liefert die R.: 
—5 -4 -3 -2 -1 ±0 -+-I 
-80-75-70-65-60-55-50 
deren Summe ist = — 455 anstatt der 
gegebenen —200. 
8. Die Anwendung der beiden Glei 
chungen No. 10 und No. 16 mufs also 
mit einiger Vorsicht geschehen. Diese 
Gleichungen sind unvermeidlich, wenn