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Astronomische Dämmerung. 140 Astronomische Dämmerung. 
der Nenner ist. Bei gleichem Zähler und Für PS~dO° — 23i°=66|°, d. h. wenn 
Nenner wird sin 2 1, ZPS —l, mithin ZPS die Sonne in dem mit dem Pol gleich- 
-180°, also der ganze Tagebogen nebst namigen Wendekreise steht, erhält man: 
den beiden Dämmerungsbogen — 360°. 
sin 2 1 Z/’S — ** w T(174jr° —PZ) (41 j°-j-PZ) 
sin PZ • sin 66i° 
Setzt man PZ = 41i°, so wird 1 (174j° der Sonne die permanente D. in Berlin 
- PZ) = 661’, sin 2 \ZPS = l, mithin ZPS anfängt, hat man 
-180° und der Tagebogen + den beiden 4 ZPS = 90° 
D.-Bögen = 24 Stunden; der Zenith-Ab- * ZS = 108° 
stand 41^° giebt aber die geogr. Br. PZ = dem Complement der geogr. 
= 48|°, wie schon ad 5, 8 und 9 nach- Br. des Orts 
gewiesen worden. =90°-52°3l' 13" = 37°28'47” 
13. Um aus der Formel ad 12 zu er- und es entsteht 
fahren, mit welcher nördlichen Abweichung 
t _ ain 4 (70°31'13''+aQx 5m ^ (145° 28'47"-x) 
sin x - sin 37°28’47” 
Da nach No. 8 und 10 die Aufgabe 
möglich ist, so muís es für x einen Werth 
geben, für welchen Zähler und Nenner 
gleich werden, mithin muís der erste 
Factor des Zählers = sin x sein, d. h. 
*=70°3l'l3" 
Diesen Werth in den zweiten Factor 
gesetzt, giebt diesen = sm37°28’47'' 
x ist das Complement der nördlichen 
Abweichung, und man erhält diese 
= 19° 28'47" 
wie schon ad 10 nachgewiesen worden. 
14. Wenn die Sonne mit dem Ort 0 
ungleichnamige Abweichung hat, bleibt 
die Formel 12 dieselbe, nur dafs PS = 90° 
+ der Abweichung beträgt. Hier hat man 
für gleichen Zähler und Nenner ZPS= 180°, 
für PS = 90 o + 23i°=113j°, d. h. wenn 
die Sonne in dem mit dem Pol ungleich 
namigen Wendekreise steht, erhält man 
für gleichen Zähler und Nenner des 
Bruchs: 
sin ¿(2211° — PZ) x sin j (PZ — 5 j°) 
sin PZxsin 1Í34 0 
PZ = 138.j°; d. h. der Parallelkreis, in 
welchem sämmtliche Orte zur Zeit der 
beiden Dämmerungen + dem zwischen 
liegenden Tage = 24 Stunden haben, 
liegt 41^° von dem gleichnamigen Pol, 
oder unter 48^° gleichnamiger geogr. Br., 
wie schon ad 5 gezeigt worden. 
Setzt man PZ — 23^°, d. h. sucht man 
Z_ ZPS für die Orte des ungleichnamigen 
Polarkreises, so erhält man 
• 21 7dd sin 18 ° 
sm 2 XZ PS — ———. 
T sin 47° 
Zoi? sin ^ ZPS=9,81292745 — 10 
und ZZPS = 81° 5', mithin die Zeit des 
ganzen Tage- und der beiden angrenzen- 
den Dämmerungsbogen = —-^-x24Std. 
180 
= 10 Stunden 49 Minuten. 
Wenn die Sonne in dem ungleichna 
migen Wendekreise steht, so tangirt ihre 
Richtung den Polarkreis, es ist mithin 
Sonnen-Aufgang und Sonnen-Untergang 
in einem und demselben Augenblick, da 
her fängt mit dem Aufhören der Morgen 
dämmerung zugleich die Abend-D. an, 
und beide zusammen währen 10 Std. 
49 Min., so dafs die eigentliche Nacht 
nur 13 Std. 11 Min. dauert. 
15. In dem speciellen Fall (No. 14), 
dafs die Sonne in dem ungleichnamigen 
Wendekreis steht, ist der positive Grenz 
werth von PZ = 5,j 0 ; hierfür wird ¿/ZPS 
= 0, also Dämmerungen giebt es dann 
nur in einer Entfernung von 5£° von 
dem Pol, und von der ungleichnamigen 
geogr. Br. 84y° ab bis zum Pol; also nur 
auf 5j° Breite giebt es keine Dämmerung 
mehr, wie dies schon ad 9 gezeigt ist. 
16. Um aus der Formel No. 12 zu er 
fahren, unter welcher südlichen Abwei 
chung (x) am Nordpol die permanente 
D. eintritt und aufhört, hat man 
ZPS= 180°; sinUZPS = l 
ZS = 108° 
PS = 90° + * 
PZ = 0 
.... , sin 4 (198°+x) X sin 4(18° — x) 
mithin 1 = —- - ; ——. /rkn „ . . 
stn 0 X sin (90° -f x) 
Betrachtet man PZ (hier =0 im Nenner) 
als den Bogen, der soeben verschwinden 
will, so mufs der Bogen 4(1 8 °~ x ) des 
Zählers demselben entsprechen, mithin 
hat man die südliche Abweichung ar=18°. 
Dann auch ^ (198°+*) = 108°=90°+18° 
= 90 + *, der Zähler also dem Nenner 
gleich. Die eigentliche Nacht des Nord 
pols dauert also so lange, als die Sonne 
von der südlichen Abw. 18° in den süd 
lichen Wendekreis und von dort wieder