Binomial - Coefficienten. 
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Binomial - Coefficienten. 
• 4 7 _ I _ 4 _ 7 _10 14 OR 7 
- ~ '3 • ~ • 5 , ~ T • y • r ?_ _ _ £z _L _ _ J i_ 
“1.2. S’ 1 " 1.2. 3.4 81 T 243 243 
U. s. w. 
14. Da 
n . n — 1 • ti — 2 ... n — £c + 2 • m —.T+l 
nj = 1 . 2 7~3 ... (a?-i) • a; 
und 
îi . n — 1 . ti — 2 .... n-x-\- 2 
n ' " 1 = 1.2.3 ... . (x -I)“ 
so ist 
fl x _ fi — x -f 1 
«x-1 a; 
oder 
a;. rix — (n-x-j- 1 )n.c— 1 
hieraus hat man also 
1 . ft , = ft • fl 0 = (« — l)o 
2 . n 2 = (n—l)fi, =(jj —1), 
3 . n 3 = (n — 2) n., = (n — 1) i 
4 * W| — (fi 3) n 3 -— (ti 1) -, 
. »i 
. n 
• n 
■ n 
x ■ n r = (m — x-f-1) . n r— 1 = (n — l)x—1 • » 
15. In jedem Binom (<i+5)" ist 1 • n' 1 
das erste Glied; das folgende », a'- 1. 
Dieser Coefficient , wird oben der erste 
genannt, daher ist 1 der Ote und allge 
mein ft u — 1. 
So ist 
Tlu =(n — l)/i_l = (n— x)n—x = n 0 - 1 
= (n —1)//_2 = ft— 1 ll. S. w. 
und 
fi/j-t-l = (» — 1 )/< = 0 
16. Wenn man in den folgenden bei 
den Reihen der B.-C. 
1 • ftj M 2 H3 fl4 .... fix 
1 . Wlj Wl 2 Wl 3 fM 4 .... fftj- 
die unter einander stehenden Glieder mit 
einander multiplicirt und die Summe bil 
det, so kommt man durch weitre Ent 
wickelung auf ein interessantes Gesetz. 
Man hat 
1 • 1 + ftj m, + » 2 m a -f.... n x • iujc 
Nach No. 13 ist 
11t: = (w — l)x— l + (n — 1 )x (1) 
also auch 
m.r = (■m— 1) ¡c—l + (in— l)x (2) 
Nach No. 14 ist 
X . fix = (fl — * + 1) fix—1 (3) 
und x ■ nie — (in— x -f 1) »ix-1 (4) 
Mithin hat man aus 2 und 3 
X . fix ntx — (n — x +1) fix—l • [(ffi — 1 )x— l + (mi — 1 )x] (5) 
und aus 1 und 4 
x . fix wix = (wt— a?+l)ffix—1 • [(fi — 1) x—l -f- (m — l)x] (6) 
In 5 und 6 für das zweite Glied den zweiten Summanden der Klammergröfse 
mit den Werthen xn, : aus 3 und xm x aus 4 multiplicirt, giebt 
X . fix • Mix = (fl - X + 1) Hx—1 • (Ml — l)x—1 + XUjo (mi — l)x (7) 
x. fix • Mix = (fit — x + 1)mix—l • (n — l)x—l + xm x (n — l)x (8) 
Setzt man nach Formel 7 die Werthe 1, 2, 3.. .. nach einander für x, so er 
hält man 
l.fljf», = n . ii o (nt — l) 0 + l.n, (mi — l)j = n.l. 1-f fl (mi— 1) 
2 . w 2 mi 2 — (fi—l)fi i (mi 1), + 2 n 2 (ffi —1) 2 
3n 3 Mi 3 =(n—2)n 2 (Mt—1) 2 + 3 fi 3 (mi 1)3 
4fi 4 Mi 4 =(»—3)ft 3 (mi—1) 3 + 4 «4 (mi —1) 4 
(i-l)flr-l ffix— 1 = (n — * + 2)fix—2 (mi — l)x—2 + (x— 1)«x—l (mi — l)x -1 
X • n x • Mix = (fl — X + 1)fix—1 (mi— 1)x— 1 -f xn x . (mi — 1)x 
Hieraus durch Addition, wenn man rechts jedes erste Glied einer Reihe mit dem 
zweiten Gliede der vorherigen Reihe zusammen nimmt: 
S — ft [1. 1 + m(mi — 1) + M 2 (m —1) 2 + . . . . fix—i (mi — l)x—l] + xn x (mi—l)x 
Verfährt man ebenso nach Formel 8, so hat man nur in der eben ermittelten 
Summe n mit m zu vertauschen und es ist 
S = mi[1.1 + mi(m- 1) + mi 2 (» —1) 2 + .... Mix—1 (« — l)x—l] + xm x (n—l)x 
Setzt man x — n und berücksichtigt, dafs n,t—i = »; n„ = 1 und (» —1)« = 0, so 
erhält man