Brennpunkt der Parabel. 417 Brennpunkt der Parabel. 
sein, d. h. die Halbirungslinie des Z BJL 
ist die Tangente in J, und jede Tangente 
und die dazu gehörende Normale ist für 
jeden Parabelpunkt äufserst leicht zu con- 
struiren, wenn der B. gegeben ist. 
3. Eben so leicht ist es, die Parabel 
(also die Lehre für einen parabolischen 
Hohlspiegel) zu construiren, wenn der 
Abstand AB des B. vom Scheitel, die 
Brennweite gegeben ist: Man nehme 
auf der Axe rückwärts AB' — AB, ziehe 
B'N (die Directrice) normal der Axe 
B F, so hat man NJ=JB. Zieht man 
also auf B'N mehrere Normalen wie in 
n, so erhält man den zugehörigen Punkt 
m der Parabel, wenn man / / 
mnB macht. 
4. Dafs NJ — JB, nvn — mB u. s. w. er 
hellt aus Folgendem: 
Es ist 
AB = \p, für J ist AD — x\ DJ 2 = px 
folglich 
BJ 2 = B ü 2 + DJ 2 = {x - \ p) 2 + px 
= x 2 + tVP 2 - Ipx + px - X 2 + p 2 
+ jp x 
= ( x + }p) 2 
und 
BJ =x + \p 
Für den Punkt m wird 
Bm 2 = (1 p — x) 2 + px - x 2 + 1 ' 7T p 2 + ^px 
= 0* + ip) 2 
also jeder Brennstrahl ist = der zu dem 
Parabelpunkt gehörenden Abscisse + dem 
Abstand des Brennpunkts vom Scheitel. 
Nimmt man nun AB' = AB = \p, so 
ist jede 4= der Axe genommene Linie wie 
NJ = AD + AB’=x + ±p 
mithin wie 
NJ= BJ 
Jeder Brennstrahl — dem Abstand des 
Parabelpunkts von der Directrice. 
Da 
z NJT = z BJT 
und 
z BTJ = z NJT 
so ist 
Z B1J = Z BJT 
hieraus 
BJ-TB- TA A AB 
also 
x + \ p = TA + \p 
woraus 
TA = x 
existirt gar kein Punkt, von dem aus 
dies der Fall ist.) 
Denn setzt man für einen beliebigen 
Parabelpunkt J, Al) — x, DJ—y, setzt 
vom Scheitel aus in der Axe einen be 
liebigen Abstand AO < x oder AF> x — s 
und senkrecht über 0 und F die Punkte P 
und Q in dem Abstand XV von der Axe, 
so hat man 
Pf 2 oder QJ 2 = (// — w) z 4- (* x ^ &) 2 
= i/ 2 - 2 wy + w 2 + x 2 + s 2 — 2xz 
Soll nun PJ oder QJ rational zu x 
werden, so ist dies ebenso von PJ 2 oder 
QJ 2 erforderlich. Nun ist y 2 -px, also 
y = ypx, y also irrational in Beziehung 
auf x, daher darf in dem Ausdruck für 
PJ 2 oder QJ 2 das Glied 2wy nicht Vor 
kommen, d. h. es mufs w = o sein, der 
Punkt kann nur in der Axe liegen, 
PJ und QJ werden zu OJ und FJ, und 
es ist 
OJ 2 oder FJ 2 = px + x 2 + j 2 — 2xz 
— x 2 + a 2 -f {p — 2i)x 
Soll nun der letzte Ausdruck ein wirk 
liches Quadrat werden, so mufs p — 2t 
= ± 2j sein, wo nur das obere Zeichen -f 
gelten kann, weil für — 2a, p = o entsteht, 
was unmöglich ist. 
Für p — 2a = -f 2a ist aber p = 4a oder 
z — \ p, d. h. der Abstand des B. vom 
Scheitel. 
G. Eine sehr einfache und sehr genau 
auszuführende Construction einer Parabel, 
also auch einer Lehre für einen parabo 
lischen Hohlspiegel von dem B. aus er 
hält man aus folgender Betrachtung: 
Es sei AB die gegebene Brennweite, 
A der Scheitel, B der Brennpunkt. Um 
nun den Parabelpunkt J über dem be 
liebigen Punkt D zu finden, hat man 
AD = x 3 AB = \ p 
Fig. 254. 
und die Subtangente 
TI) = 2 AD 
— der doppelten Abscisse, woraus bei ge 
gebenen Parabelbogen die Construction 
von Tangenten sehr leicht ist. 
5. Der B. ist übrigens der einzige 
Punkt der Axe, von dem aus alle gera 
den Linien nach der Curve in Beziehung 
auf x rational werden. (Aufser der Axe 
Nimmt man auf der über den Scheitel 
verlängerten Axe AB'=^\p, so ist 
B'D- x + lp 
Bl) = x — \p 
daher B'D + Bl) = 2x 
und B'D — BD — 4 P 
folglich 
{B'D + BD) {B'D - BD) -\p. 2x = px-=y 2 
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