Brennpunkt der Parabel. 
418 Brennpunkt der Ellipse. 
Nimmt man daher die beiden einge 
klammerten Linien als Theile eines Durch 
messers, also des Durchmessers 2 B’D, 
I) als den Theilpunkt zwischen beiden, 
beschreibt über 2Bl) den Halbkreis, so 
schneidet er in J die Länge JD ab; es 
ist DJ' 2 = px und J ein Parabelpunkt. Es 
ist also BD der Halbmesser des Kreises, 
ß' der Mittelpunkt und EJF der Halb 
kreis; denn da nun BE = BD, so ist 
DF = B D - BD. 
So kann man von A aus beliebig viele 
Theilpunkte wie D verzeichnen, Norma 
len errichten, mit dem jedesmaligen B’D 
von dem constanten Punkt B aus den 
Halbmesser nehmen, und mit diesem von 
dem constanten Punkt B aus die dem 
jedesmaligen D zugehörige Normale durch 
einen Bogen schneiden, wo man jedesmal 
einen Parabelpunkt erhält. 
7. Aus der Eigenschaft der Parabel, 
dafs die Subtangente jedes Punkts = der 
doppelten Abscisse ist, ergiebt sich noch 
eine andere, wohl eben so einfache Con- 
struction der Parabel bei gegebenem B. 
Ist nämlich TD die Axe, B der Brenn 
punkt, TJ an J die Tangente, so ist die 
Subtangente TD — 2AD, also TA = AD, 
TB = x A\ p = BJ, z JTB = Z TJB, folg 
lich halbirt ein Loth BL auf TJ die TJ 
und TL=JL. Errichtet man aber in A 
ein Loth AM auf der Axe TD, so ist 
AM T DJ, und es mufs durch den Punkt 
L gehen, w-eil TA -.AD — TL : LJ und 
TA-AB ist. 
Die Construction der Parabel ist dem 
nach folgende: Errichte im Scheitel A ein 
Loth AM, ziehe aus dem Brennpunkt B 
eine beliebig gerade Linie (BL), errichte 
Fig. 255. 
auf dieser ein Loth, welches die Axe (in 
T) schneidet, so ist diese (LT) die halbe 
Tangente eines Parabelpunkts, die rück 
wärts ihr gleiche (LT) bestimmt also 
diesen Parabelpunkt. 
Die Construction No. 6 ist deshalb prak 
tischer, weil man die Parabelpunkte in 
beliebigen Abständen von einander er 
hält. 
Brennpunkt der Ellipse, l) Die Ellipse 
AEae entsteht, wenn man in 2 Punkten 
B, b die Enden eines biegsamen Fadens 
von der Länge Aa befestigt, und diesen 
durch zwischengehaltenen Stift unter fort 
dauernder Anspannung in einerlei Ebene 
herumführt. Befindet sich der Stift in A 
oder a, so überdecken sich die beiden 
Theile des Fadens, in allen übrigen Punk 
ten wie J bilden sie ein Dreieck, dessen 
Summe der Seiten gleich grofs bleibt, in 
E und e sind die Dreiecke gleichschenk 
lig. Die Linie Aa ist die grofse Axe, 
Ee die kleine Axe, die Linien BE, bE 
oder BJ, bJ u. s. w. heifsen Radii vecto- 
ren, und da diese in jedem Punkt mit 
der zu diesem Punkt gehörenden Nor 
malen gleiche Winkel bilden, wie sogleich 
Fig. 256. 
nachgewiesen werden wird, so heifsen 
B, b die Brennpunkte der Ellipse. Jede 
Normale wie FJ kann nämlich als Ein 
fallslos betrachtet werden, und daher 
wird jeder aus dem leuchtenden Punkt 
B oder 6 auf jeden Punkt der elliptischen 
Linie geworfene Lichtstrahl nach dem 
Punkt b oder B reflectirt. Beide Axen 
Aa und Ee halbiren sich im Mittelpunkt 
C der Ellipse, und theilen diese in vier 
congruente Quadranten, der Abstand jedes 
der beiden Brennpunkte von dem Mittel 
punkt heifst die Excentricität der 
Ellipse. 
2. Verlängert man einen Radius vector 
z. B. BJ, beschreibt aus J mit dem 2ten 
Radius vector Jb, als Halbmesser den 
Halbkreis OK LG, zieht die Sehne Gb, 
halbirt diese in //, und zieht durch H 
und J die Linie KL, so ist diese die 
Tangente in J. Denn zieht man von 
einem beliebigen Punkt M der Linie KL 
nach B, b und G gerade Linien, so ist