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Brennpunkt der Ellipse. 419 Brennpunkt der Ellipse. 
MB + MG>BG 
MG = Mb 
foglich MB + Mb > BG 
Nun ist 
JG =Jb 
daher BG = JB -f- Jb — Aa 
mithin MB-\-Mb>Aa 
Es liegt also der Punkt M und jeder 
andre Punkt der Linie KL mit Ausnahme 
des Punkts J aufserhalb der Ellipse und 
folglich ist KL Tangente in J. 
Zieht man nun die Normale JF, so ist 
Z MJF= Z LJF= R 
und da 
z MJB = LJG 
als Scheitelwinkel, so ist auch 
z FJB = z FJb 
und BJ und bJ sind mit einander reflec- 
tirende Brennstrahlen. 
3. Bezeichnet man für einen beliebigen 
Punkt J der Ellipse die vom Mittelpunkt 
C genommene Abscisse CD mit u, die 
Ordinate DJ mit y, die Excentricität CB 
= Cb mit e, die halbe grofse Axe AC= nC 
mit a, die halbe kleine Axe CE = Ce mit 
b, so ist 
BO x BG = Bbx BN 
oder 
(BG - OG) x BG = Bbx (Bb + 2bD) 
d. i. 
(2n — 2 Jb) X 2a = 2e X [2e + (2m — 2e)] 
woraus der Brennstrahl 
CM 
Jb — a — — 
a 
hieraus der Brennstfahl 
eil 
JB = a + — 
a 
5. Ferner hat man 
bJ 2 = bD 2 + DJ 2 
oder 
(rt - = (m - e) 2 4- y 2 
x = « ± M 
also ii — ± a x 
diesen Werth in den Ausdruck für y 2 
gesetzt, giebt 
»* = .-¿5 ( 2aa; “ **) 
26* ¿ 2 „ 
Man nennt — den Parameter der El- 
a 
lipse, und bezeichnet diesen mit p, dann 
hat man 
y* — px ■ 
Da 
P-x 2 
2 a 
2 b 2 a 
— =P> s0 ist b* = p — 
also auch (2b) 2 = 2a-p 
d. h. die kleine Axe ist die mittlere geo 
metrische Proportionale zwischen dem Pa 
rameter und der grofsen Axe. 
6. Da z BJF — z bJF 
so ist 
BJ : bJ= BF: bF 
also 
BJ+bJ: bJ = BF+bF:bF 
oder 
2a : a — — = 2c : DF — (m — c) 
a 
/ cm\ e 
DF — ( n ) u 
\ a / a 
also die Subnormale : 
«2 — g2 
DE=m r- 
¿2 
r = 
(n 2 - M 2 ) 
BE 2 = AC 2 = BC 2 + EC 2 
a 2 = e 2 -p b 2 
a 2 — e 2 = ¿ 2 
daher auch 
2/' 
b 2 
7. Ferner ist 
A FJD co A </PD 
daher 
DF : DJ = DJ :PD 
oder 
DE - DP= D./ 2 
d. h. Subnormale x Subtangente — dem 
Quadrat der Ordinate; und die Subtan 
gente 
DP= A 2 2 — = ~ M - 
b* u 
2 U 
a l 
8. Es ist 
/b 2 \ 2 
FJ 2 = DJ 2 + DE 2 = j/ 2 + i-jii) 
b 2 r „ o . b 2 
mithin 
« 2 - (a 2 - u 2 ) 
a 
und die Ordinate 
b 
woraus die Normale 
!/ = — V'« 2 - 
M 
a 
Nimmt man den Anfangspunkt derCoor- 
diuaten in einem Scheitelpunkt A, be 
zeichnet die Abscisse mit x, so ist 
9. Es ist endlich 
JP 2 = DJ 2 + DP 2 = j/ 2 + (—~ ) 2 
g ! 
(i 1 
Ii 
1