Brennpunkte der Kegelschnitte. 423 Brennpunkte der Kegelschnitte. 
rameter und der Abscisse; daher der Nun ist 
Name Hyperbel (Vermehrungslinie, Ueber- AF»sin AFN = AN • sin ANF 
schufslinie). oder 
Verlängert man die Axo FJ" der Hy- AF sin ß" — AN • sin ~ ß") 
perbel rückwärts, so schneidet sie den daher 
Mantel des entgegengesetzten Kegels in AN _ sin ß" 
N, zieht man NOA-EF, bezeichnet N0 AF sin(a — ß") 
mit ; Z PNQ mit ß,, so hat man un( j 
Z ANF= /_ PNQ = ß l =«-ß" 
Z OAN=a 
(4) 
(5) 
daher 
A F: AN = EF: NO = k:h t 
. _ AN i 
kl ~ AF' k 
sin (« — /?'') 
Ganz analog mit der Gl. für y 2 der er 
sten Hyperbel mufs bei der Abscisse x, 
/g\ wenn die Ordinate mit y, bezeichnet wird, 
die Gl. für y, 2 sein. 
sin ßi 
sin («-£,) sin ß { , 
X -p X 1 
2 2 
für k, und ß, die eben gefundenen Werthe gesetzt, giebt 
y<- 
sin ß" , sin(a — ß”) sin (ct — aß”) sin (a-r ß") 
—— ,, fi • x -f- 
sin («—/?) « « 
C °s— cos — 
reducirt giebt 
sin ß" 
?/, 2 = — 
cos- 
X -f- 
sin (« — ß") sin ß” 
woraus hervorgeht, dafs für einerlei x, y t =y und dafs beide Hyperbeln ^sind. 
2a : 2b —2b : p 
3. Wie bei der Ellipse die gerade Linie 
zwischen den Scheiteln die grofse Axe so dafs 
genannt wird, so nennt man auch bei 
der Hyperbel die Linie FN zwischen bei 
den Scheiteln die grofse Axe, besser die 
Haupt axe. Man erhält dieselbe, wenn 
man von F auf NE ein Loth gefällt denkt, 
aus der Gleichung 
EF• sin AEF = FN sin ENF 
oder 
2 6 Z 
P = — 
so hat map 
6 2 
oder 
k cos = FN sin (« — ß") 
u 
fc 2 
y* = — x + 
y* = ¿2 ( 2ax + **) 
FN* yk* 
sm (« — ß ) 
und wenn man dieselbe, wie bei der El- also 
lipse, mit 2a bezeichnet, so ist 
ft - o sin fo —ft") a daher 
4. Verlegt man den Anfangspunkt der 
Coordinaten in den Mittelpunkt der Haupt- 
axe, bezeichnet hier wie bei der Ellipse 
(6) die Abscissen mit u, so ist 
u = a -f x 
x — u — a 
b* 
?/* = ~j [2 a (m - o) + (« - a) 2 ] 
diesen Werth in Gl. 2, No. 2 C gesetzt, - b L (yß - aß) 
giebt aß 
2 p 2 Für gleiche und entgesetzte Werthe 
y -px-\- x von M gehören also gleiche Ordinaten, 
Bezeichnet man ferner, wie bei der und beide Hyperbeln sind iS 
Ellipse, mit 2b eine kleine Axe, besser 5. Nachdem nun die Kegelschnittslinien 
Nebenaxe, wenn construirt und mit einander verglichen