Brennpunkte der Kegelschnitte. 424 Brennpunkte der Kegelschnitte. 
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■worden, ist deren Brennpunkte zu geden 
ken. Die B. der Parabel und der Ellipse 
sind in besonderen Artikeln schon spe- 
ciell behandelt, und es soll dies nun noch 
lur die Hyperbel geschehen. 
Nimmt man von der Mitte M der Haupt- 
axe Aa aus zu beiden Seiten u = |'a 2 + 6 2 , 
so erhält man die Brennpunkte B, b; für 
diese Punkte sind die Ordinaten y durch 
A ‘ ~ ß2 ) 
gegeben, und 
b 2 , 
Jl iV 
wie bei der Parabel und der Ellipse. _ 
Die Brennstrahlen nach irgend einem Abscisse MI) mit u, JD mit 
Punkt I der ersten Hyperbel bilden mit 
deren Tangente JT die gleichen Winkel 
bJT und HU. Denn bezeichnet man die 
y, so ist 
bJ 2 — bl) 2 DJ 2 — (u -f \ a 2 -f 6 2 ) 2 -f- — (m 2 — a 2 ) 
woraus durch Reduction 
bJ — — yd 2 + b 2 -j- a 
(1) 
b 2 
BJ 2 = BD 2 + DJ 2 — (u ]/a 2 + b 2 ) 2 + - 2 (u 2 - a 2 ) 
er 
woraus 
folglich 
BJ=-~ fa 2 + b 2 - a 
bJ -f BJ = — }/a 2 b- 
(3) 
bJ-BJ=2a (4) 
Ist nun JT so gezogen, dafs bJT = 
/_ BJT, so hat man 
bJ.BJ =bT:BT 
also auch 
bJ -f BJ: bJ - BJ = bT + BT : bT - BT 
oder mit Hülfe von Gl. 1 und 2: 
— Ja 2 + b 2 :2a = 2 }/ä 2 + b 2 : bT - BT 
a u 
bezeichnet den Endpunkt mit D\ errich 
tet das Loth D T bis in die verlängerte 
TJ, so hat man nur zu zeigen, dafs D'T 
immer grüfser ist, als die zu D' gehörige 
Ordinate der Hyperbel. Man hat aber 
TD : TD' = DJ: D'T' 
oder 
TB + BD : TB + BIT - y : D'T' 
Nun ist nach Gl. 4 
TB = \'a 2 + b 2 - 
BD = MD - MB = u - }/a 2 + b 2 
BD = MD' - MB =«,-yä 2 ~+T 2 
demnach hat man die Proportion 
a 2 a 2 b — 2 j , , 
« : w | = — |/tt 2 — o 2 : D T 
woraus 
DT' = 
uu | — a 2 
r.2~ 
V'm 2 - a‘ 
u A — a 2 a 
Die Ordinate in 
D = y, = — l/«, a -a 8 
daher 
D'T :y t — uu| — a 2 : ]/(u 2 — a 2 ) (u l 2 ~a J 
oder 
(D'T) 2 :y t 2 = (uu, - « 2 )2 : ( u 2 - «2) ( M( 2 _ ß2) 
= « 2 W, 2 +a 4 —2a 2 MM, : u 2 u, 2 -f a 4 -et 2 (M 2 -f-w, 2 ) 
Die beiden Hinterglieder stimmen nur 
in dem dritten Gliede nicht überein, und 
es kommt also nur darauf an, wie