Algebraische Gleichung. 50 Algebraische Gleichung. 
13. Auflösung der Gleichungen zeln sein, sondern nur 2, 3 und 4; pro- 
es 3ten Grades mit einer Unbe- 
kan nten. 
Jede reine cubische Gl. ist in die Form 
zu bringen: 
x 3 ±a= 0 
3 
woraus x = y rp a 
Jede unreine cubische Gl. läfst sich in 
die Form bringen: 
x 3 ± «a; 2 ± 6ar± c=0 
14. Die strenge Auflösung der cubischen 
Gleichungen hat mehr Schwierigkeiten, 
als die der quadratischen; bei numerischen 
Gl. kommt man in der Regel am leichte 
sten durch Probiren fort. 
15. Wie die quadratische Gl. als aus 
2 Factoren gebildet angesehen werden 
kann (No. 11), so jede cubische Gl. aus 
dreien, und es ist auch bei dieser jeder 
Factor die Differenz zwischen der Unbe- 
kannten und einer ihrer Wurzeln, wie bei 
der quadratischen; daher hat jede cubische 
Gleichung 3 Wurzeln. 
Nennt man diese 3 Wurzeln w, v, w, 
so erhält man aus 
(x — w) (*— v) (x — w) — 0 
x 3 — (m + v + w) x 3 + (uv + uw + vw)x 
— uvw— 0 
Der Coefficient des Quadrats der Unbe 
kannten besteht also aus der negativen 
Summe der Wurzeln, der der einfachen 
Unbekannten aus der positiven Summe 
der Producte je zweier Wurzeln mit ein 
ander, und das bekannte Glied aus dem 
negativen Product sämmtlicher 3 Wurzeln. 
Dieser Satz erleichtert das Aufsuchen 
der Wurzeln durch Probiren ungemein, 
wenn man das bekannte Glied in Facto 
ren zerlegt, und diese einzeln auch wohl 
mit dem Coefficienten des Quadrats ver 
gleicht. Aus der obigen Entwickelung 
des Products in eine viergliedrige Gröfse 
geht zugleich hervor, dais wenn sämmt- 
liche Coefficienten ganze Zahlen sind, 
auch sämmtliche 3 Wurzeln ganze Zahlen 
sein müssen, wenn nicht 2 von ihnen 
irrational werden. 
16. Beispiele. 
1. Beispiel, x 3 - 9x 2 -f- 26a: — 24 = 0 
(Meier Hirsch, pag. 148). Wegen des 
negativen bekannten Gliedes (- 24) mufs 
nach No. 15 wenigstens eine Wurzel 
positiv sein, und diese soll aufgefunden 
werden. 
Die Factoren von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 
8, 12, 24. Die leichteste Probe gewährt 
* = 1; hierbei wird der Werth der Gl. 
1 — 9 + 26 + 24=42 statt 0; 1 ist also 
keine Wurzel. 
Wegen der Zahl 9 (=« + d+m>) können 
nun die Factoren 6, 8, 12, 24 nicht Wur- 
birt man den Jbactor 2, so 
8- 36+ 52 — 24 = 0 
ferner 3 giebt: 27 — 81+ 78 — 24 = 0 
endlich 4 giebt: 64—144 + 104 — 24 = 0 
mithin sind die Wurzeln der Gl. = 2, 3 
und 4. 
2. Beispiel, x 3 — 8a: 2 +5a: + 14=0 
(Meier Hirsch, pag. 148). Factoren von 
14 sind 1, 2, 7, 14. 
Da 14 positiv ist, so mufs mindestens 
eine Wurzel negativ sein. 
Die Probe +1 giebt 1 — 8+ 5 +14 = +12 
„ „ -1 „-1-8-5 + 14 = 0 
mithin ist — 1 eine Wurzel der Gleichung. 
Anstatt noch ferner zu probiren, kann 
man die Gl. durch a; + l dividiren, man 
erhält: 
x 3 — 9 a: + 14 = 0 
woraus, da 9 = 2 + 7 und 14 = 2x7, sofort 
zu übersehen, dafs die anderen beiden 
Wurzeln +2 und +7 sind. 
3. Beispiel. 
x 3 — 49a; —120 = 0 (Meier Hirsch, p. 148). 
Hier fehlt das zweite Glied, und man ist 
auf das Bekannte beschränkt. Die Gl. 
kann wegen des Vorzeichens — der Be 
kannten lauter positive, aber auch 2 ne 
gative Wurzeln haben, jedenfalls mufs 
eine positiv sein. 
Es mufs daher sofort ein Factor von 
120 probirt werden, der im Cubus das 
2te Glied übertrifft, also >7, weil 7 3 — 
49*7 erst =0 ist, und der Werth noch 
— 120 bleiben würde. Der kleinste Factor 
von 120 also, welcher eine Wurzel der 
Gl. sein könnte, ist 8, und der Factor 8 
giebt den Werth =0; eine Wurzel =8 ist 
gefunden. Nun aber müssen die beiden 
anderen Wurzeln negativ sein, weil jede 
positive Wurzel, die höher als 8, den 
Werth der Gl. gröfser als Null machen 
würde. 
Dividirt man die Gl. durch x — 8, so 
erhält man: 
x 3 + 8 x-\-15 = 0 
woraus wieder, da 8 = 3 + 5; 15 = 3x5, die 
Wurzeln —3 und —5 durch den Augen 
schein hervorgehen. 
4. Beispiel. 
x 3 ~ 6a: 2 + 19a: — 44 = 0 
(Meier Hirsch, pag. 150). 
Hier ist wiederum wenigstens eine Wur 
zel positiv. Die Factoren von 44 sind 1, 
2, 4 und 11; 1 und 2 geben negative 
Werthe der Gl., für 4 erhält man den 
Werth der Gl. =0, und +4 ist eine Wur 
zel. Da der Coefficient 6 des zweiten 
Gliedes gar keinen Anhalt giebt, jeder 
Werth einer positiven Wurzel über 4 aber 
einen positiven Werth der Gl. liefern