Algebraische Gleichung. 
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Algebraische Gleichung. 
J/H (3 ¿5 + «0 y* + (3/S 2 + 2aß + b)y+ß 3 +aß* 
+ bß+c = 0 
(3/? + «)*/* "wird nun =0 für /9 = — 
Diesen Werth in die Gleichung gesetzt, 
giebt: 
»•-(f-O'+Cir-T+'H 
Eine cubische Gleichung mit fehlendem 
2ten Gliede hat also eine der beiden 
Formen: 
1) £c 3 +6a?±c=0 
2) x 3 — bx±c=0 
20. Um aus der Folge der gleichnami 
gen und ungleichnamigen Vorzeichen auf 
die Vorzeichen der Wurzeln schliefsen zu 
können, mufs das fehlende Glied mit ± 0 
eingeführt werden. 
Die Gl. 1 wird: a: 3 ±0 + 6a;±c = 0 
für + 0 und + c erhält man 3 Folgen 
für — 0 und + c „ „ 2 Wechsel 
und 1 Folge. 
Aus diesem Widerspruch folgt, dafs 
2 Wurzeln der Gl. unmöglich sind, denn 
die Gl. kann nicht 3 negative und zu 
gleich 2 positive und eine negative Wur- 
zel haben. 
Die Gl. 2. wird # 3 ±0 — bx±c~0 
Hier entstehen für + 0 u.+ c) 1 Folge u. 2 
und für —Ou.+ cj Wechsel, u. 
für+Ou. — c) 2 Folgen und 
und für — Ou. — c$ 1 Wechsel 
mithin findet kein Widerspruch statt, und 
die Gleichung kann 3 mögliche Wurzeln 
liefern. Für diesen Fall giebt 
x 3 — bx + c=0, eine negative und 2 po 
sitive Wurzeln, 
x 3 — bx — c—0, eine positive und 2 ne 
gative Wurzeln, 
pessen ungeachtet kann eine Gl. von der 
Form x 3 — bx±c=0 auch 2 unmögliche 
Wurzeln haben. 
21. Entwickelung der Gleichun*- 
gen No. 20 durch Auffindung ei 
ner möglichen Wurzel. 
Die Gl. x 3 ^bx±c—0 giebt 
x 3 =^(bx-\-c) 
Man setze x =y+z 
so ist a; 3 =i/ 3 -(-z 3 +3i/ 2 z-(-3 yz i m 
=y 3 + z 3 + ‘6yz(y+z) 
= y 3 + z 3 -\-3yzx 
setzt mau nun y 3 + z 3 =^c 
3yz = + b 
b 3 
«raus *=| [^+ Ü'+l' ^- + 2, j 
Diese Formel heifst von ihrem Erfinder 
die Cardanische Formel. 
22. Die Gl. x 3 - bx±c=0 liefert 
+ 
b 3 c 2 
Ist nun — >— oder 4 6 3 >27c 2 , so ist 
27 4 
i 
die y unmöglich, und mit dieser auch x; 
letzteres aber nur der Form nach, es 
giebt Mittel, x in einer Reihe daraus zu 
entwickeln. Die Anwendung dieses Mittels 
ist aber weitläufig und somit die der 
Cardanischen Formel bedenklich. 
Die Gl. :r 3 -|-6.r±c — 0 liefert 
+ 
i'K-i'tr+s)] 
also y 3 k 3 
27 
so erhält man (No. 29, C. I) 
J 3 
* ° JL 1 / C b 
2/ — T Tr ~r 1/ — ± — 
2 4 27 
V 
l e 
‘ =:F Y 
/ c* b 3 
— ± — 
4 27 
und läfst immer die Anwendung der Car 
danischen Formel zu. 
No. 16, Beispiel 1. 
x 3 — 9 a: 2 -f 26 x — 24 = 0 
ct 
giebt nach No. 19 die Gl.: da —— = + 
3 ist 
(?/ + 3) 3 - 9 (j/4- 3) 2 + 26 («/ + 3) - 24 = 0 
und aus der Entwickelung dieser oder 
unmittelbar nach der Formel: 
s’-(y-i) ä ' + (lr _ T +c ) =0 
wo a — 9; b — 26; c=24 ist 
y 3 -y-0 
Es kommt also hier nicht zur Anwen 
dung der Cardanischen Formel; denn die 
Gl. mit y dividirt, giebt 
y 1 —1=0, woraus ?/=±l 
Nun ist y-\-3 = x, also ±l + 3 = a? 
woraus a;=:+2 und +4 
so dafs blofs durch die Fortschaffung des 
zweiten Gliedes sofort 2 Wurzeln gefun 
den worden. 
No. 16, Beispiel 2. 
a: 3 — 8 a: 2 -f 5 a: -f 14 = 0 
g 
Hier erhält man nach No. 19 (y-f-g-) 
— x gesetzt