i Gleichung. 
Algebraische Gleichung. 53 Algebraische Gleichung. 
5t von ihrem Erfinder 
Formel. 
a?±c = 0 liefert 
ler 4 6 3 >27c 2 , so ist 
ul mit dieser auch x; 
der Form nach, es 
iner Reihe daraus zu 
rendung dieses Mittels 
und somit die der 
1 bedenklich. 
c=0 liefert 
5 Anwendung der Car 
li. 
il 1. 
26 a? — 24 = 0 
die Gl.: da -|-= + 
+ 26 (y -f 3) — 24 = 0 
,’ickelung dieser oder 
er Formel: 
= 24 ist 
-y-o 
er nicht zur Anwen- 
hen Formel; denn die 
giebt 
roraus y=± 1 
ilso ±l + 3 = a? 
:+2 und +4 
die Fortschaffung des 
brt 2 Wurzeln gefun- 
el 2. 
5a? + 14 = 0 
8 , 
lach No. 19 
49 > _ 286 
' 3 * 27 ” 
Die Anwendung der Card. Formel ist also 
nicht möglich, da 4. (y) 3 >27(f^) 2 
ist, und es führt nach dem bisherigen 
Vortrag nur das Probiren zum Ziel, und 
zwar am leichtesten die Probe mit der 
ursprünglichen Gleichung. 
No. 16, Beispiel 3. 
x 3 — 49 a:— 120=0 
Hier findet dasselbe statt, wie beim zwei 
ten Beispiel. 
No. 16, Beispiel 4. 
x 3 — 6a? 2 +19a: — 44 = 0 
giebt nach No. 19 
s/ 3 + 7y— 22 = 0 
Für diese Gleichung ist die Anwendung 
der Card. Formel geeignet. Man erhält 
3 
s =V +11+ te§ 
... +V+n-j/m+f 
3 - 3 
=|/+ll+yV'30 + "j/ + 11 — “ J/30 
Die Wurzel ist hier also in einer irra 
tionalen Gestalt gegeben; aus der Probe 
No. 16. ist aber die mögliche Wurzel 
rational =4 gefunden ; demnach mufs das 
Irrationale sich fortschaflen lassen; dies 
kann aber nicht anders sein, als wenn 
19 
ll±-g-J/30 rationale Cubi sind. 
Um die Nenner fortzuschaffen, multiplicire 
mit 27, so entsteht 
297 ±571/30 
Setze 
(a? ± |/30) 3 = 297 ± 57 ]/30 
so erhält man 
x 3 ± 3a? 2 V30 + 90a: ± 30 j/30 = 297 ± 57 j/30 
Das' Rationale dem Rationalen, das Irra 
tionale dem Irrationalen gleich gesetzt, 
giebt: 
a? 3 + 90# = 297 
(3a? 2 ±30)l/30=±57l/30 
Aus dieser letzten Gl. erhält man 
# = ±3 und ± 3 ]/ — 1 
Für die rationale mögliche Wurzel ist 
nur # = ±3 in die obige Gl. (a?±p30) 3 
= 297±57j/30 zu setzen; man erhält zu 
nächst 
also j(±3j/30) = ^/ll± ^j/30 und 68 
ist mithin 
3 
|/ll + ~ 1/30 = 4 (3+V30) 
und 
3 
j/n — ^1/30=4(3—1/30) 
also 
?/= 3 1 * (3 + V30)-K (3 -1/30) = 2 
Nun ist aber y+2=#; mithin #=4, wie 
die Probe No. 16 ergeben hat. 
Es ist aus diesem Beispiel zu ersehen, 
dafs die Card. Formel, selbst in dem Fall, 
dafs sie unmittelbar eine mögliche Wur 
zel ergiebt, auf Schwierigkeiten oder Weit 
läufigkeiten führen kann, und dafs die 
Probe in den meisten Fällen vorzuzie- 
hen ist. 
23. Um die Card. Formel nicht anwen 
den zu müssen und dennoch eine cub. 
Gl. streng auflösen zu können, giebt die 
Anwendung der trigonometrischen Functio 
nen ein Mittel. 
Cub. Gl., für welche die Card. F. eine 
mögliche Wurzel liefert, sind (s. No. 22) 
a) von der Form x 3 -\-bx±c — 0 
ohne Ausnahme 
und b) von der Form x 3 — bx±c=0, in 
welcher 27c 2 >46 3 
Für diese Fälle (a und b) soll die strenge 
Auflösung gezeigt werden. 
A. Für die Gl. von der Form 
a? 3 + 6#+c = 0 
Man setze x — r(tga—cota) (1) 
wo r einen noch näher zu bestimmenden 
Halbmesser bedeutet; so hat man 
x 3 = r 3 (tg 3 a — 3lg z c< • cot « + 3ty «cot 2 « 
— cot 3 «) 
=r 3 (tg 3 « — cot 3 ct) — 3r 3 tg a • cot cc (tg a 
— cot ct) 
Da nun tg n-cota = 1 und r (tg a — cot a) 
= x, so erhält man 
x 3 — r 3 (lg 3 a — cot 3 ct) — 3r 2 x 
und geordnet 
x 3 + 3r 2 # — r 3 (lg 3 a—cot 3 a) = 0 
Um der oben gegebenen Form x 3 -\-bx 
-fc=0 zu entsprechen, schreibe nun 
x 3 -j- 3r 2 # + r 3 (cot 3 cc — tg 3 «) = 0 (2) 
und es ist 6 = 3r 2 (3) 
c — r 3 (cot 3 a — tg 3 «) 
Aus 3 erhält man r = j/~- (4) 
Diesen Werth in die letzte Gl. gesetzt, 
giebt: 
cot 3 «-fy 3 « = |/-~ 
schreibt man hierzu cot 3 «* fy 3 « = l 
±3±p / 30=} / 297±57 y 30