Analysis.
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Analysis.
Gröfsen, von welchen sie abhangen, als
wirklich sich ändernd gedacht werden.
Die Differenzialrechnung bestimmt die
Grenzverhältnisse von Functionen, wenn
diese gegeben sind, die Integralrechnung
die Functionen aus gegebenen Grenz-
werthen; beide Rechnungen verhalten sich
zu einander wie das Potenziiren zum
Radiciren.
Die ausführliche Betrachtung der A.
des Unendlichen gehört hiernach in die
Artikel: Differenzialrechnung und Integral
rechnung. Um aber schon hier eine An
schauung von der Wichtigkeit der beiden
Rechnungen zu geben, sollen folgende
kurze Erläuterungen gegeben werden.
Man denke in und um einen Kreis
reguläre Vielecke von gleich viel Seiten
beschrieben, das innere hat einen kleine
ren, das äufsere Vieleck einen gröfseren
Inhalt als die Kreisfläche; durch einmalige
und wiederholte Verdoppelung der Seiten
beider Vielecke wird das äufsere immer
kleiner, das innere immer gröfser; allein
wenngleich beide Vielecke der Kreisfläche
sich auch immer mehr nähern, das äufsere
bleibt immer gröfser, das innere immer
kleiner als dieselbe, und mithin ist die
Gröfse der Kreisfläche der Grenzwerth
zwischen beiden Vielecken, dem sich ihre
Flächenräume beliebig nähern können.
Wenn man die Function von x,
n' 1 — X' 1
J/=——
Ci X
durch wirkliche Division in eine Reihe
entwickelt, so erhält man:
a n - x n . , 0 „ ,
y = — a'‘— 1 -(- fi'i—2 x -f- a n —3 x 2
a — x
+ x n ~l
Aus dieser Reihe ersieht man, dafs,
wenn man x immer kleiner nimmt, die
E esammten, x enthaltenden Glieder in
umme immer kleiner werden müssen,
dafs sich also der Werth der Reihe oder
der Werth von y dem Werth von a«— 1
immer mehr nähert. Da nun bei belie
biger Abnahme von x der Werth von y
dem Werth a"- 1 beliebig sich nähern,
nie aber geringer werden kann, als
so ist an— 1 der Grenzwerth von y.
Je näher aber x dem a genommen
wird, desto mehr nähert sich das zweite
Glied a'*— 2 x dem Werth «'*—1, das dritte
Glied a n ~3 x 2 eben demselben Werth
a n — 1 und so jedes der n—1 Glieder, welche
* enthalten; es nähert sich also y immer
mehr dem Werth n*a"—*; und da man
die Annäherung von x an a beliebig fort
setzen, y also dem Werth na"- 1 beliebig
nahe kommen kann, ohne jemals dessen
Werth zu übersteigen, so ist na"- 1 ein
zweiter Grenzwerth von y.
Es sei y = x 3 .
Aendert sich x um (\x, so ändere sich
y um Ay- Dann hat man:
2/ + Ay=(^ + Aa:) 3 = a: 3 + 3a: 2 Atf
+ 3a: t\x 2 -f-A® 3
hiervon y = x 3
bleibt A 2/ — 3a: 2 A ® + 3a: A ^HA® 3
Diese Gleichung zwischen den Werthen
der Aenderungen von x und deren Function
y ist also die Differenzengleichung
zwischen beiden Functionen.
Um das Verhältnifs zu erkennen, in
welchem die Aenderung der Function y
zu der Aenderung der Veränderlichen x
sich befindet, dividire die Gleichung durch
A», so erhält man das Verhältnifs:
A y_.
A®
: 3a: 2 -f 3a:Aa: + A* 2
Man nennt ganz naturgemäfs dieses
Verhältnifs den Differenzenquotient
von y und x. Dieser ist, wie die drei
Glieder zeigen, nicht nur abhängig von
der gegebenen Veränderlichen x, sondern
auch von deren Aenderung um A*; nun
ist aber die Gröfse A®, um welche x in
x [\x umgeändert worden, etwas ganz
Beliebiges, Unbestimmtes, von welchem
der Differenzenquotient befreit werden
mufs, wenn er in bestimmter Relation zu
den ursprünglichen Functionen sich be
finden soll.
Als solcher ist er also = 3a: 2 .
Dieser, nur von der veränderlichen
Gröfse abhängige Differenzenquotient, der
für jede Function einer veränderlichen
Gröfse bestimmt angegeben werden kann,
heifst Differenzial - Quotient, und
wird allgemein ausgedrückt durch wo
9y und Bx die Differenziale von y
und x heifsen.
Aus dem Differenzenquotient
A y_,
A®
: 3a: 2 + 3a;A« + Aa: 2
ersieht man zugleich, dafs man dem
Werthe 3a: 2 immer näher kommt, je mehr
man A x abnehmen läfst, so dafs der
Differenzialquotient 3 a: 2 der Grenzwerth
des Differenzenquotienten ist.
Die Integralrechnung beschäftigt sich
damit, die ursprünglichen Functionen aus
gegebenen Differenzialen zu finden.
y — J~3x*»c)x = x 3
d. h. das Integral y, dessen Differenzial
quotient = ist 3a: 2 ist =x 3 .
