Aporisma. 
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Apparat. 
Aporisma s. v. w. Aporema. 
Apothema, die gerade Linie von dem 
Mittelpunkt eines regulären Polygons nor 
mal auf eine Seite desselben. 
Apotome (Ablösung, Trennung). Hier 
mit bezeichnet Euklid (10. B. 74. S.) die 
Differenz, welche entsteht, wenn mau von 
einer Rationallinie eine andere, ihr blofs 
in Potenz commensurable Linie fort 
nimmt, und von der er (74. S.) beweist, 
dafs sie eine Irrationallinie ist. Hierbei 
ist zu bemerken, dafs Euklid nicht nur 
commensurable Linien, sondern auch 
solche Linien rational nennt, die zwar 
incommensurabel, aber in der Potenz 
(d. h. im Quadrat) commensurabel sind 
(10. Bd. 6. Erkl.), und dafs er unter 
irrationalen Linien nur solche versteht, 
die weder als Linien, noch in der Potenz 
commensurabel sind (10. Bd. 10. Erkl.) 
Man nehme ein rechtwinkliges A, dessen 
Katheten die Linien = 1 sind, so ist die 
Hypothenuse (= j/2) bei uns mit jeder 
Kathete (=1) irrational, bei Euklid ratio 
nal, weil das Quadrat = 1 der Kathete 
mit dem Quadrat = 2 der Hypothenuse 
commensurabel ist, eben so jede der 
Katheten = 1 und = 2 mit der Hypothenuse 
= p5. Bildet man aber aus den so er 
haltenen Linien = j/2 und =p5 ein Recht 
eck, = ]/2xyb = yi0, und construirt nach 
(2. B. 14. S.) das diesem gleiche Quadrat 
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— RIO, so ist die Seite =y 10 mit den 
Seiten =1 und —y2 der zuerst betrach 
teten Quadrate irrational, weil auch deren 
Quadrate = 1 und 2 mit dem Quadrat 
= R10 incommensurabel sind. 
Bezeichnet man mit b\ c, d ... gerade, 
mit einander commensurable Linien, mit 
B, C, D . . . Potenzen (Quadrate) von 
solchen geraden Linien, so dafs also A, 
ß, C ebenfalls unter einander commen 
surabel sind; mit yß, yC, \D . .. Linien, 
die im Quadrat, aber nicht in der Länge 
commensurabel sind und mit A. eine 
Apotome, so ist A. entweder von der 
Beschaffenheit b — \'C oder yß — c oder 
yß-yc. 
Euklid erklärt 6 Apotomen, in der 
Uebersetzung in einer nicht üblichen 
Sprech- und Bezeichnungsweise, welche 
das Studium erschwert, auch unleidlich 
macht. Es soll daher hier Erklärung 1 
(nach dem 85. Satz) näher erläutert 
werden. 
Erkl. 1. Eine Apotome, an die sich 
eine Linie fügt, so dafs die ganze, aus 
beiden bestehende Linie um das Quadrat 
einer ihr an Länge commensurablen Linie, 
über die angefügte potenzirt, heifst die 
erste A., wenn solche ganze Linie einer 
angenommenen Rationallinie in Länge 
commensurabel ist. 
Aus dem Schlufs des Satzes geht her 
vor, dafs die A. nur die erste der 3 Be 
schaffenheiten b— yC haben kann, weil 
A plus einer angefügten Linie \'C eine 
ganze, in Länge commensurable Linie b 
geben soll. Dafs che ganze b über die 
angefügte yC potenzirt, heifst: dafs fol 
gendes Yerhältnifs b 2 :b 2 — C, also das 
Quadrat der ganzen zu der Differenz der 
Quadrate der ganzen und der angefügten, 
gemeint wird, und dafs dieses Potenziren 
um das Quadrat einer ihr in Länge com 
mensurablen Linie geschieht, heilst, dafs 
b : j/6* —C — d-.e ist, also dafs die Seite 
]/b 2 — C eines der Differenz der Quadrate 
gleichen Quadrats eine mit b commen 
surable Linie giebt. 
Bei der zweiten Apotome ist die 
angefügte (C) in Länge commensurabel, 
mithin A =yß — c und für die Potenzirung 
ß : \/ß - c 2 = d : e 
Bei der dritten Apotome ist weder 
die angefügte (]/C), noch die ganze (\'B) 
in Länge commensurabel, daher 
A=\B-yC 
und für die Potenzirung 
yß : y ß C = d : e 
Bei den übrigen 3 Apotomen soll die 
ganze Linie über die angefügte um das 
Quadrat einer in Länge in commen 
sura bien Linie potenziren. 
Bei der vierten Apotome ist die 
ganze (6) in Länge commensurabel, also 
A — b — yC und 
It 2 -. yP-C =yD : \E 
Bei der fünften Apotome ist die 
angefügte c in Länge commensurabel, 
daher A— \'B — c und 
B-.\/B-c 2 =yD-.yE 
Bei der s e c h s t e n A p o t o m e ist weder 
die ganze, noch die angefügte in Länge 
commensurabel, also A—yß — yC und 
B :}/ß~C=yi)-.yE 
Apparat. 1) Ein stabiles Geräth; es 
unterscheidet sich von Werkzeug oder 
Instrument, dafs dieses ein nicht 
stabiles Geräth ist. Geräth ist jeder 
Körper und jede zu einem Ganzen zu 
sammengefügte Summe von Körpern, mit 
deren Hülfe der Mensch eine Thätigkeit 
ausübt. Das stabile Geräth, der A. unter 
scheidet sich von Maschine, dafsersterer 
entweder selbst unthätig bleibt, oder wenn 
er selbstthätig ist, weder mechanische noch 
Ortsänderung von Körpern zu bürgerlich 
nutzbarem Zweck vollfünrt, während letz 
tere durch Kräfte, welche auf dieselbe 
einwirken und in ihr zerlegt werden, selbst