Construction d. Werthe etc. 123 Construction d. Werthe etc. 
Auch hier sieht man die Symmetrie 
zweier Aeste der Curve von einem Punkt 
zwischen den Abscissen = 0 und = + 1. 
Der Punkt für das Minimum der Ordi 
nate ist für x = ^, wo die Ordinate = 3* 
wird; man erhält die Darstellung Fig. 505. 
Die Curve hat also keinen Durch 
schnittspunkt mit der Abscissenlinie XX’. 
So viele Wurzeln eine Gleichung hat, 
so viele Durchschnittspunkte hat die Curve 
mit der Abscissenlinie mit Ausnahme 
zweier gleicher Wurzeln, w r o ein Berüh 
rungspunkt wie Fig. 504, und einer un 
möglichen Wurzel, wo nur ein der Abscisse 
näherer Punkt, wie Fig. 505 entsteht. 
Fig. 505. 
Zum Schlufs des Art. soll die Curve 
der Gleichung, Bd. I, pag. 57, Z. 1 rechts 
construirt werden, nämlich 
.v 5 - 3.r 4 - &x 3 + 24.r 2 - ( .)x + 27 = 0 
deren Wurzeln sind dort gefunden. 
+ 3 ; + 3 ; — 3 ; +1' — 1; — + — 1 
die Gl. hat also 2 gleiche und 2 unmög 
liche Wurzeln. 
Für x— 0 ist w = + 27 
a: = + 1 „ №= + 32 
x = + 2 „ w = + 25 
x = + 3 „ № = 0 
№ = + 4 „ №=+119 
Man ersieht, clafs die beiden Ordinaten 
links und rechts in Entfernung 1 von 
dem Endpunkt der Abscisse x = + 3 po 
sitiv sind. Dafs dies übrigens in noch 
so kleinen Entfernungen von derselben 
Ordinate stattfindet, dafs also der Abscis- 
senpunkt + 3 ein Berührungspunkt für 
die 2 gleichen Wurzeln +3 ist, erhellt, 
wenn man in die Gleichung für x den 
Werth (3 ± ») setzt. Man erhält als Werth 
die Gleichung 
für x = 3 + M; 
№ = n“ (60 + 46» + 12» 2 + n 3 ) 
für x = 3 — n; 
w = n 2 (60 — 46» + 12 » 2 - n 3 ) 
Setzt man nun für » eine noch so 
kleine positive ächt gebrochene Zahl, so 
wird jede noch so nahe an ® = 3 rechts 
befindliche Ordinate der Abscisse = 3 + » 
positiv; und da man mit n auch 46» + n 3 
gegen die Zahl 60 beliebig klein machen 
kann, ebenso die beliebig an x = + 3 links 
befindliche Ordinate für x — 3 — « eben 
falls positiv ; für n — 1 wird 
№ = n 2 (60 + 46» + 12» 2 + « 3 ) = + 119 
und № = « 2 (60 — 46» + 12» 2 — n 3 ) = + 25 
wie oben berechnet worden. Die Curve 
berührt also die Abscissenlinie in dem 
Punkt, der von dem Nullpunkt+ 3 ent 
fernt ist, ein charakteristisches Zeichen, 
dafs (+3) zweimal als Wurzel vorhan 
den ist. 
Für x— 0 war № = + 27 
x = — 1 ist № = + 64 
x = — 2 „ № = + 125 
x — — 3 „ № = 0 
x = — 4 „ w = — 833. 
Von x = 0 bis x = (- 2) steigen die po 
sitiven Ordinaten bis +125, und für x 
— (— 3) wird die Ordinate plötzlich = 0, 
ein Beweis, dafs zwischen den Abscissen 
(- 1) und (— 3) die Curve eine Abnor 
mität in der Form erfährt; dafs die fol 
gende Ordinate negativ ist beweist, dafs 
der Punkt der Abscissenlinie (-3) vom 
Nullpunkt entfernt, ein Durch,schnitts- 
punkt mit der Curve ist, und dafs somit 
die 1—3 nur einmal als Wurzel vor 
kommt. 
Uni die Form der Curve von der Ab 
scisse (- 3) ab nach (— 4) hin summarisch 
festzustellen, soll der Werth der Glei 
chung für x = — (3 + ») ermittelt worden. 
Man erhält 
für x — — (3 + »); 
№ = - (360» + 336» 2 + 118m. 3 + 18» 4 + m 5 ) 
So klein und so grofs man also » im 
mer nehmen mag, die Ordinate bleibt 
negativ, und wächst mit dem Zuwachs 
von », so dafs die Curve von x = — 3 ab 
und weiter ( —) genommen, weder eine 
Abnormität noch einen D urch sehn ittspunkt 
mit der Abscissenlinie XX ’ erfährt, so 
dafs also hinter der Abscisse № = — 3 die 
Gleichung weder mögliche, noch unmög 
liche Wurzeln hat. Für »=1, also x 
— (- 4) entsteht № = — 833. 
Aus dem obigen Werth 
für x = (3 + »); 
№ = » 2 (60 + 46» + 12» 2 + » 3 
geht dasselbe für die von x = + 3 ab ge 
nommene positive Richtung hervor, so 
dafs die noch fehlenden Wurzeln zwischen 
den Abscissen № = (—1) und № = (— 3) 
liegen. 
Für die Untersuchung der Curve zwi-