Convex und Concav. 
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Convex und Concav. 
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von der Tangente abwärts oder von einem 
Standpunkt aus gesehen, in welchem die 
krumme Linie vor den Tangenten liegt, 
heilst concav, hohl. Man erklärt auch: 
Eine krumme Linie (AEB), w r elche von 
einer geraden Linie (HB) in 2 Punkten 
(A, B) geschnitten wird, heilst nach der 
Richtung der Sehne (AB) hin concav, 
nach der Richtung deren Verlängerung 
(AH) hin, convex. Eine entsprechendere 
Erklärung ist wohl: Eine krumme Linie 
(AEB) heilst nach der Richtung hin, in 
welcher 2 nahe liegende Tangenten (AD, 
BD) sich schneiden, convex; nach der 
Richtung hin, in welcher die zugehörigen 
Normalen (AC, BC) sich schneiden, concav. 
Die Winkel, welche die aufeinander fol 
genden Normalen (AC, BC) mit einer 
Abscissenlinie (XX') nach einerlei Rich 
tung und nach dem Anfangspunkt der 
Abscissen hin gemessen, wie z AJX, 
/_BI\X, werden bei der coucaven Linie 
immer gröfser, bei der convexen immer 
kleiner. 
Eine Linie kann nach einerlei Rich 
tung hin betrachtet die convexe Form mit 
der concaven vertauschen; der Punkt \V 
(Fig. 510) in dem dies geschieht, heilst 
der Wendungspunkt. Weil bei Be 
stimmung der Form einer Curve in einem 
bestimmten Punkt E derselben ein sol 
cher Wendungspunkt in der Nähe sein 
könnte, muls der dafür zu untersuchende 
Bogen AB unendlich klein genommen 
werden. 
Fig. 511 u. 512. 
Im Calcül ist oft ein untrügliches Kenn 
zeichen erforderlich, ob eine Curve in einem 
ihrer Punkte convex oder concav ist, und 
die Differenzialrechnung giebt das Mittel 
dazu. In dem Art.: Berührende Li 
nie, Bd. I, pag. 344 mit Fig. 216 ist 
nachgewiesen, dafs die trigonometrische 
Tangente des Winkels («), den die geo 
metrische Tangente (BT) an einem Punkt 
(B) der Curve mit der Abscissenlinie (SH) 
bildet, = ist dem Quotient des Differen 
zials der Ordinate (y) des Punktes (B) 
durch das Differenzial der Abscisse (x) 
für denselben Punkt (B), nämlich For 
mel (2) daselbst 
&X 
und zwar ist dieser Werth allgemein gül 
tig, und unabhängig davon, ob die Curve 
nach der Abscisse hin convex oder concav 
ist, ob nämlich der Punkt S links oder 
rechts von dem Punkt T der Tangente 
fällt, und der Z GBL < oder > als z a 
ist. Fig. 511 und 512 sind die Fort 
setzungen von Fig. 216, und wie das erste 
0W 
Differenzial — mit Hülfe des rechtwink- 
ax 
ligen Dreiecks GBL, dessen Catheten 
A* und Ay angenommen worden, abge 
leitet ist, so soll hier das zweite Diffe 
renzial aus dem folgenden zweiten Drei 
eck NGM, dessen Catheten A 2 * und A 2 y 
angenommen sind, abgeleitet werden; und 
zwar weil ^ ^ als das Differenzial von 
dy 
?"=»i 
ein characteristisches Merkzeichen für die 
Form der Curve abgiebt. 
Es ist für ly« nämlich die Abscisse 
x in x + A* nnd die Ordinate y in 
y -f Ay umgeändert worden. Aendert man 
nun l\x in Ax r A‘x und Ay in Ay + A i y 
A y 
so entsteht statt der Quotient 
An 
Ay f A 2 y 
Ax + A 2 x 
Fig. 511, wo die Curve concav ist, wird 
¿NGM<aGBL, 
A 2 y < Ay 
A 2 x ~ Ax ’ 
folglich ist 
also auch 4 + 
Ax + A*x Ax 
und der mit dem Zuwachs von Ax und 
Ay entstehende Zuwachs der Function 
A2L+A y _ wird subtractiv. 
Ax + A 2 x Ax 
Da nurf mit dem Zuwachs der Unver 
änderlichen Ax eine Abnahme der Func 
tion geschieht, so ist das Differenzial ne 
gativ, 
also 
By 0 2 y ,. 
d w = IS ‘ ; 11 egativ. 
Fig. 512, wo die Curve convex ist, wird 
Z XGM > z GBL, 
A y Ay 
Ä?x' Ax 
folglich 
also auch ^-44 >4? 
Ax + A 2 x Ax 
mit dem Wachsthum der Unveränderli 
chen Ax geschieht ein Wachsthum der