Cosecante. 
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Cosinus. 
eignet sich nicht, durch Umkehrung eine 
Reihe für cosecu zu finden, weil in der 
selben die Cosecanten in den Nennern 
sich befinden. Kehrt man die Reihe um: 
pag 111, No. 9 
, \-x 3 3-c 3 3*5 x 7 
arcsinx=a=xA 1 (- 1 
2*3 2-4-5 2*4-6-7 
so erhält man 
3 f 1-2-3-4-5 (7) + ‘" 
Sinu — 
1 1-2 
Nun kann man freilich nicht unmittel 
bar, wenn man nämlich in diese Reihe 
sin u — setzt, eine Reihe für cosec u 
cosec a 
finden, allein es ist sin et • cosec a — \, und 
wenn man cosecn = A+Ba+Cti 2 +Du 3 +.... 
setzt, so erhält man durch Multiplication 
beider Gleichungen eine Reihe, aus wel 
cher die unbestimmten Coefficienten ent 
wickelt werden können. Die allgemeine 
Form der Reihe ist aber zuerst näher zu 
betrachten. Schreibt man in 
cosecct=A-}- B«-\-Cn 3 A- Dn*-f E« 4 -f.... 
—« für a so ensteht 
cosec (— «) = -f- A — Ba + Ca 3 — Da 3 -f- Ea 4 
— F« 5 + G« 6 —.... 
Nun ist aber eosec(— «)= — cosec a, beide 
sind entgegengesetzt gleich grofs und folg 
lich dürfen die für (- «) positiv bleiben 
den Glieder nicht vorhanden sein, und 
die Reihe ist 
cosec « = Bit + Da 3 + Fn° -f Hu 7 -f 
Setzt man ferner « = 0 so wird (nach No. 2) 
cosec « = so, es ist also ein Glied erfor 
derlich, welches « im Nenner hat, dem 
nach ist die vollständige Form 
coseca =— -{- Bn + Ca 3 -j- ü« 5 -f Ea 7 -f.... 
« 
in der das erste Glied — für (— a) eben- 
a 
falls subtractiv wird. Verbindet man mit 
dieser allgemeinen Reihe die bestimmte 
/-/5 rt 7 
51»«=—- 
durch Multiplication, so erhält man: 
1 = A + Ba 3 + CcA + Du 6 + En s + Fn 10 
A , B , C D E 
(3f (3)“ (3) tt (3) f< (3) 
(o) (5) (5) (o) 
A 6 B 8 C 
Ci° « 10 
(7) (7) (7) 
W (9) 
(11) 
(3j + (5) (7) + (9) 
Hieraus 
A - 1 = 0 
c "W + (t) = 0 
_ C t ß A 
~ (3)' + (5) (7) " 
fi _-L + JL__ Ä _ + JU o 
(3) T (5) (7) (9) 
E I) C_ B J| 
(3) + W C) + (9) (11)” 
und endlich 
4 = 1 
» - jL - _L - JL 
(3) (3) 6 
r = J 1 __ (5) — (3) 8 7 
(3)2 (5) (3)2. (5) 360 
D = (5) (?)- 2 • (3)2 (7) + (3) 3 (5) 31 
(3) 3 (5) (7) 15120 
u. s. w. 
woraus 
1 . 1 , 7 ,. 31 
cosec «=— + “ 6 K + geö « f 1Ä12Ö“ + 
vergleiche Cosinus, No. 16; Cotangente, 
No. 11, Cosinus versus, No. 4. 
Cosinus eines Winkels oder Bogens 
« ist der Sinus des Complements von 
«, eine sogonannte Cofunction. Die 
Lagen der Sinus und der C. als trigono 
metrische Linien sind in dem Art.: Con- 
structionen, pag. 80 und 81 mit Fig. 437 
bis 440 für Winkel oder Bogen, die allen 
4 Quadranten angehören, angeben; eben 
so ist der Beweis geführt, dafs die C. im 
ersten und vierten Quadranten positiv, 
im zweiten und dritten Quadranten ne 
gativ sind. Ferner sind in demselben 
Art. folgende Aufgaben durch Zeichnung 
gelöst. Zn finden: 
t ( c\ 
tf = Are I cos = ± — I 
pag. 82 No. 4, II. mit Fig. 441 
x — r cos “Tf 
pag. 83 No. 5, II. mit Fig. 442 
(f> = Are | COS2 = 
pag. 84 No. 6, II. mit Fig. 445 
X — r • COS 3 ft 
pag. 84 No. 7, II. mit Fig. 446 
x — r sin a • cos ß 
pag. 85 No. 8, II. mit Fig. 447 
x = r • cos n • cos ß 
pag. 86 mit Fig. 448 No. 9, I. 
x = rtg « cot ß „ „ No. 9, II. 
x — r • cos u cot ß „ „ No. 9, III. 
x — r • cos a-sec ß „ „ No. 9, IV. 
x = r • cos n • cosec ß „ „ No. 9, V.