C09lnU8. 
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Cosinus. 
14. Setzt man in Formel 21 In pag. 89 bis 93 No. 14 ist für alle 
cos (« + ß) = cos « • cos ß — sin « sin ß Werthe von « die Formel erwiesen 
für ß nach einander «, 2«, 3« (n — 1) a, sin(a-\-ß) = sina cos ß-\-cos « • sinß 
so erhält man woraus für ß nach einander a, 2«, 3«... 
cos 2a = cos 2 « — sin 2 « sin 2« = 2sin« • cos « 
cos3a = cos •«• cos 2a — sin «• sin2« sin 3a = sin a • cos2«-f cos« sin2« 
cos4a ss cos «• cos 3« — sin «• sin 3« sin 4« = sin « cos 3 a -f cos « • sin 3« 
cos na — cos a-cos (n — 1)«— sin a-sin (n—l)a sin (na) —sin a cos (n—1)« -f«os ««sin (n—1)« 
Hiernach erhält man 
1. cos2a = cos 2 a — sin 2 a 
sin 2« = 2sin «• cos « 
2. cos 3« = cos a (cos 2 « — sin 2 a) — sin « • 2sin «• cos a = cos 3 « — 3cos « • sin 2 « 
sin 3a = sin a (cos 2 « — sin 2 «) -f cos «• 2sin « • cos « = 3sin a cos 2 « — sin 3 « 
3. cos 4« = cos «(cos 3 a — 3cos «• sin 2 «) — sin « (3sin « • cos 2 « — sin 3 «) 
= cos 4 « — 6cos 2 « • sin 2 a -f sin 4 a 
sin 4a = sin «(cos 3 « — 3cos « sin 2 «) -f cos « (3sin «• cos 2 « — sin 3 «) 
= 4cos 3 « sin « — 4sin 3 cos a 
Schreibt man die bis hier gewonnenen Reihen für die cos und sin der Vielfachen 
des Winkels untereinander, so erhält man 
cos 2« = cos 2 « — sin 2 « 
sin2a= +2 sina>cosa 
cos 3a = cos 3 a — 3cos « sin 2 « 
sin 3« = -)- 3cos 2 « sin « — sin 3 « 
cos4« = cos 4 « — Qcos 2 a sin 2 a -f sin 4 « 
sin 4« = -f 4cos 3 a sin a — 4cos a sin 2 « 
Zwei Cosinus und Sinus gleichvielfacher subtractiven und additiven Gliedern ab- 
Winkel bilden hiernach zusammen eine wechselt. 
Reihe der aufeinander folgenden Glieder Dies Gesetz erweist sich, so weit man 
des Binoms einer mit dem Vielfachen des mit den Vielfachen fortfährt und allge- 
Winkels gleich hohen Potenz; nur mit mein, wenn man das Gesetz für cos na 
dem Unterschied, dafs jede Reihe mit ad- und sin na als richtig annimmt und hier- 
ditivem Gliede anfängt und ferner mit aus die Reihe für cos (»+1)« und sin(n-(-l)« 
entwickelt: Ist nämlich 
cos na = cos n a — n x cos n —^a sin 2 a-f n 4 cos"— 4 « sin 4 « — n 6 cos' l — 6 a sin 6 «-f... 
sinna = n ,cos ,l ~la’sina — n 3 cos"— 3 « sin 3 a-j-n 5 cos'‘~ 6 a>sin 3 a — n 1 cos u ~ 7 « sin 7 -)-.... 
So findet man aus 
1. cos («-(- na)—cos a • cos na — sina sin na 
2. sin (a -¡- na) = sin a cos na -f cos a-sin na 
cos (n -f l)« = eos a [cos" a—n 3 cos"—^a sin 2 «-fn 4 cos"- 4 « sin 4 a—n fi cos n — s a sin 6 «-f....] 
— sin a [«,005"— J « sina — n 3 cos"— s a sin 3 «-f-w 5 cos«— 5 « sin 5 « — ....] 
hieraus 
cos(n-f-l)« = cos"+ 1 « — (n, -f n-JcosH-la sin 2 a -f (n 3 -f n 4 ) cos"— 3 « sin 4 « 
— (n- -f n 6 ) cos"— 5 « sin 6 « -f- 
Nun ist in dem Art. Binomial-Coefficient N0. 2, pag. 368 bewiesen, dafs der mte 
Coefficient vor (a-ffe)"-*- 1 = ist der Summe des mten und des (m-l)ten Coefficienten 
von (a -f 6)"; demnach hat man 
cos(n-(-1)« = cos"+i« — (n-f-1) 2 cos"— 1 « sin 2 «-f (n-f 1) 4 cos"— 3 « sin 4 « 
— (n-f-1 ) B cos"- 5 « «sin 6 « -f 
Eben so erhält man aus 2. 
sin(n-f- l)« = sin « [cos" « —n 2 cos"—’ 1 sin 2 a-\-n x cos"- 4 « sin 4 a — n 6 cos n ~ 6 a sin 6 « -f...] 
-f-cos« [n|cos"—Dt sin« — n 3 cos"— 3 « sin 3 a -f n 5 cos"— 5 « sin 5 « — ....] 
woraus 
sin (n-f ])« = (! -f n,)cosoasintt— (n 2 -f v 3 )cos n - 2 «sin J « -f (n 4 -f n 4 )cos"— 4 « sin 5 « - ..]