Cosinus. 
H3 
Cosinus, 
folglich 
sin(n+1)« = ( n +l)i cos"« sin « — (n + 1) 3 cos"— 2 asin 3 a -f- (« +1), cos"— 4 « sin 5 « — . 
womit das obige Gesetz allgemein bewiesen ist. 
15. Wie in N0. 13 die Cosinus der vielfachen Bogen in Reihen von Potenzen 
des einfachen Bogens dargestellt sind, so kann man durch Umformung derselben 
auch die Potenzen der Cosinus des einfachen Bogens in Reihen von Cosinus der 
vielfachen Bogen darstellen; mau hat nämlich aus 13 
1. COS « = COS « 
2. 2cos 2 « = cos 2« + 1 
3. 4cos 3 a = cos 3« + 3cos « 
4. 8cos 4 « = cos 4a + 8cos 2 « — 1 
5. 16cos 5 a = cos 5« + 20cos 3 « — 5cos « 
6. 32cos 6 « = cos 6« + 48cos 4 « — 18cos 2 « -f 1 
7. 64cos '« = cos 7« + 112cos 5 « — 56cos 3 « + 7cos « 
8. 128cos 8 « — cos 8a + 256cos 6 « — 160cos 4 « -f 32cos 2 « — 1 
« „ „ n*n—3^ . . , w*n—4*m—„ 
9. 2"- 1 cos"« = cosn« +y2"- 3 eos"~ 2 a ———2"—‘cos"— 4 a-f ——- —_2"-7cos«— 6 « 
n • n — 5 • n — 6 • n— 7 
2«~9 cos"— 8 « -f, 
1*2.3 
Aus 2 hat man in 4: 
8cos 4 « = cos 4«+4 (cos 2«+ 1) - 1 = cos4« + 4cos2a + 3 
Aus 3 hat man in 5: 
16cos 5 a = cos 5« + 5 (cos 3« + 3cos «) — bcos a 
— cos 5« + 5c° s 3« + lOcos « 
Aus 2 und 4 hat man in 6: 
32cos 6 « = cos 6« + 6 (cos 4« + 4cos 2 «-f-3)—9 (cos 2«-f 1) + 1 
= cos6« + 6cos 4« -fl5eos2« + 10 
Aus 3 und 5 hat man in 7: 
64cos 7 « = cos7a + 7 (cos 5« + 5cos 3« -f- lOcos a)- 14 (cos 3« 4-3cosa)-j- 7cos« 
= cos 7 « + 7 cos 5 « + 21 cos 3 «-f 3 5 cos « 
Aus G, 4 und 2 hat man in 8: 
128cos 8 « = cos8«+8(cos6«+6cos4«4-15cos2a+10)-20(cos4a+4cos2a-|-3)-f l6(cos2a+l)-l 
= cos 8 « + 8 cos 6 « +• 2 8 cos 4« -|- 56cos 2« -f 35 
Das allgemeine Glied, in welchem die Potenzen zu entwickeln sind ist 
W „ o 0 » •«— 3 „ , . 
2«—lcos"« = cos na + — 2"— 3 cos"—^a — 2 5 cos" 4 « 
l • 2 
+ 
n • n — 4 • n 
2<i—7cos"— 6 « — 
n • n — 0 * n 
G • n — 7 
2" _3 cos"— 
16. Entwickelung des Cosinus in eine nach den Potenzen seines Bogens fort 
laufende Reihe, Bd. I, pag. 112 gibt die Reihe: 
1 • x 3 , 3* 5 3 • 5 • x 7 
n / , 1 öar 
Ärc . C osx= Y -\x + i ^+^ 
5 + 2-4-6*7 + " 
) 
oder 
71 l . cos 3 « 3 • cos 5 « 3 • 5cos 7 « \ 
“=T - r' “ ■ + -irr + ' 2T4T5 + 2TTT6T7 + ■■■) 
cos 3 « 3 • cos 5 « 3*5* cos 7 « 
- „ = co,« + + — - jTj + 2^7677 + ■ ■ • • 
Für die unmittelbare Entwickelung der 
Reihe würde man nun setzen: 
cos a —■ A Mn + C« 2 -f Da 3 -}-•••• 
wo man dann die unbestimmten Coeffi- 
cienten A, li, (', I), ... zu bestimmen 
hätte. 
Für « = 0 wird cos a = 1; mithin hat man 
oosO.= /1 = 1 
Die Entwickelung gibt also, wegen des 
vorstehenden unbenannten Gliedes/1 = 1, 
für die Coefficienten A, B, C ... lauter 
unendliche Reihen, und die Reihe 1. ist 
für den vorliegenden Zweck unbrauchbar. 
Es ist aber cos « = sin (y - «1, und 
man kann die Reihe I. verwandeln in die: