Cosinus versus. 
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Cosinus versue. 
Nun ist nach pag. 81, No. 2 der sin im 
1. und 2. Quadrant positiv, im 3. und 4. 
Quadrant negativ, folglich für den ersten 
und zweiten Quadrant 
cosv = 1 — sin cc 
für den 3. und 4. Quadrant 
= 1 — (— sin cc) = 1 -f si?t « = 1 + (1 — cos» cc) 
= 2 — cosv k 
2. Es ergibt sich aus dem Vorigen 
cosv 0 = cosv — 360° = sinv 90° = 1 
cosv 90° = cosv — 270° = sinv 0 =0 
cosv 180° = cosv — 180° = sinv — 90° = 1 
cosv 270° = cosv — 90° = sinv — 180° = 2 
cosv 360° = cosv — 0 = sinv — 270° = 1 
Ist « ein Bogen für den Halbmesser 
= 1 oder ein Winkel zwischen 0 und 90° 
so ist 
cosv (90° — «) = cosv — (270° +«) = sinv cc 
cosv (90°+ «) = cosv — (270°— n)=sinv a 
cosv (180° — (x)=cosv— (180°+«)=Cosv n 
cosv (180° + «) = cosv - (180° —«) = 2—cos» « 
cosv(270°— cc) — cosv — (90° +«) = 2—sinv « 
cosv (270°+ u) — cosv — (90° — «) = 2—sin» « 
cosv (360° — «) = cosv — « = 2 cosv n 
cosv а — 1 — I sinv « (2 — sinv «) 
Ferner hat man 
sin a — 1 — cosv cc 
cos et = [/ cosv « (2 — cosv a) 
lg _ 1 — cosv ct 
]/cos» « (2 — cos» «) 
l/cos» ix (2 — cos» «) 
cot « — — — 
1 — cos» « 
Ÿcosv a (2 — cosv a) 
1 
1 — cosv a 
sinv Cf = 1 — ]/cosv « (2 — cos» «) 
4. Entwickelung des Cosinus versus in 
eine nach den Potenzen seines Bogens 
fortlaufende Reihe. 
In dem vor. Art. pag. 144 No 16 ist 
die Reihe entwickelt 
« 3 c< 5 « 7 « 9 
3. Will man nun cosv a durch die übri- Nun ist sin« = 1 — cos»« 
gen trigonometrischen Functionen aus- oder cosv cc = l — sin u 
daher hat man 
drücken, so hat man: 
cos» « = 1 — sin « 
cos» « = 1 — |/l — cos 2 « 
tga 
COSV (( — 1 — 
pi + ig 2 « 
“”“=1- Т + (зГс5) + (7> 
Setzt man « 
(9)' 
— « so hat man 
cos» (- 
л) - 1 + '1 (3) + (5) 
■ + ... 
cosv « = 1 
cos» « = 1 
1 
p 1 + cot 2 « 
]/ sec 2 « — 1 
sec « 
also 
cos» (— «) = 1 -f sin cc — 2 — cos» « 
Zu demselben Resultat gelangt man 
durch Umkehrung der Reihe Bd. 1, pag. 
114 No. 16 
« = 1 — cos» « + 
(1 —cos»«) 3 3(1 
2 • 3 
+ 
cosv «) 5 3 
+ 
2*4-5 
5 • (1 — cosv cc) 7 
'2 * 4*6* 7 
+ .*■ 
Denn setzt man Reihe für cos» « vereinfachen in 
cosv cc = A -j- Ba 2 -f C« 3 + ü« 4 4- cos» « = 1 + Au -f R« 3 + C« 5 +ö« 7 +E« 9 + 
so sieht man bei ähnlichen Betrachtungen wo das erste unbenannte Glied nicht wie 
wie dort, dafs die Glieder mit den geraden beim Cosinus die Entwicklung unmöglich 
Potenzen von « fortfallen, und da für macht. Denn man erhält 
« = 0, cos» = 1 wird, so läfst sich die 
(1 — cosv n) — — Au — Ba 3 
(1 — cosv «) 3 A s 3 
2 • 3 — ~ 2*3 f< 
3(1— cosv «) 5 _ 
2 * 4 *5 
3 • 5 • (1 — cosv u) 7 _ 
2 * ■ 4*6 *" 7 
Hieraus entsteht: 
Cu 5 — Du 7 
SA 2 В . 3A fU , .... 
T-T“ +4t> 
2*4*5 2*4*5 
3 • 5Л 7 . 
2*4*6