Cotesischer Lehrsatz. 151 
Cotesischer Lehrsatz. 
dieselben wenn n ungerade ist 
o »— 3 |2 
3 = r- - 2 ar cos — 7i + 
7t 
j 2 J( _i = r l — 2 ar cos n + a 2 — GP 2 
die letzten Glieder sind, wenn n gerade ist 
, . n — 3 „ 
z,'«_3 = i — 2 ar cos ti -f- « 
2 ar cos 
Die Quadrate der Factoren von r«+a" und wenn n ungerade ist 
sind 
2 = r* — 2 ar cos — 7r -+- a 2 
n 
2 = r* — 2 ar cos — 7i -f- a 2 
n 
5 
2 — .,.2 _ 2 «r cos — n + a- 
Tl 
= «■* _ 2 
7i -)- a 2 
/t + a 2 
s 2 " = r 2 + 2 ar + a 2 = (r -j- a) 2 
2. Zu dem Beweise des C. Lehrsatzes 
gelangt man nun auf folgende Weise: 
Die Trigonometrie erweist die Richtig 
keit der Formel 
; a rt sinn ]/ — 1 = j| cos na ± sinna]/ — 11 
1. 
Setzt man cos na =1, so ist na ent- 1" möglich, nämlich + 1 und - 1 ; ist n 
weder = 0 oder = 2n oder einem Viel- ungerade so ist + 1 die einzige mögliche 
fachen von 2 7t, überhaupt = 2 mn, wo Wurzel von 1". Die übrigen n — 2 oder 
, n = 0 und = jeder beliebigen positiven n — 1 Wurzeln von 1« sind unmöglich 
ganzen Zahl sein kann, und für jedes m und sie werden durch den Avisdruck 
ist sin na = 0. Es ist demnach für die- C os « ± sin a ]/— 1 sämmtlich geliefert, 
sen Fall wenn man für n\ die putprlich aufeinan- 
/—- ", der folgenden Zahlen 1 bis n r- 1 setzt, 
cos« W() f j ann c | en paii^ dal's y gerade 
unc j a= — n ist, auch die zweite mögliche Wurzel 
n (für m - {n) mit inhegriffen ist. 
für m — 0 entsteht cos 0 ±sia0|/— 1 = + 1 Dals nicht mehr als diese n — 1 Wur- 
für m = (wenn n gerade ist) entsteht ze ] n entstehen ersieht man aus den Wur- 
cos n ± sin ti ]/— 1 = — 1 zeln wenn man für m die Werthe m + k 
Ist n gerade, so sind 2 Wurzeln von und m — k setzt; denn es ist 
2(i» “b /0 2m T 2k / 2k\ 
COS TI — COS — r 77 f= COS M -b I I 
n n \ n} 
2(in - k) ( 2k\ 
COS 77 = COS II I 71 
Es ist aber 
und 
, . 2(m + k) , . 2 {m + k) —- 
Es ist mithin cos n ± sm n \> — 1 
n n 
2 Cm — k) . 2 (m — k) .—- 
= COS 77 Sin — 77 J/ — 1 
II. 
Wenn also m~>n genommen wird, so 
entstehen Werthe der Wurzel, die schon 
bei m um eben so viel kleiner als n vor 
gekommen sind; es ist daher der höchste 
Werth von m — n, und es entstehen dann 
für in — 0 bis m = n zwar n-f- 1 Wurzeln, 
aber die erste für m = 0, also für « = 0 
und die letzte für m = n, also für « = 2n 
sind einander gleich, so dafs überhaupt 
von in = 0 bis m — 77 — 1 oder von m = 1 
bis 7/7 — 77 nur n Wurzeln entstehen , in 
welchen die eine oder die beiden einzigen 
möglichen Wurzeln mit inbegriffen sind. 
3. Setzt man unter der Voraussetzung 
dafs 7i gerade ist, in die beiden letzten 
Formeln II. für die Wurzel ~ für m so 
hat man die beiden gleichen Wurzeln