Cubikwurzel. 
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Cubikwurzel. 
Nun rechnet man 24-1-6 = 30,30 + 61 = 91, 
91 + 125 = 216 und hat 216 als 6 3 ; ferner 
30 + 6 = 36, 36 + 91 = 127, 127 + 216 = 343 
= 7 3 ; weiter 36 + 6 = 42, 42+ 127 = 169, 
169 + 343= 512 = 8 3 u. s. f. Eine Prü 
fung und Versicherung der Richtigkeit 
ergiebt sich nach je 10 Zahlen, nämlich 
bei den Wurzeln 10, 20, 30, 40, deren 
Guben 1000, 8000, 27000, G4000 .... sind. 
Cubikwurzel einer Zahl ist diejenige 
Zahl, welche 3mal mit sich selbst multi- 
plicirt jene Zahl hervorbringt. Die we 
nigsten Zahlen sind Cuben, wie z. ß. 1, 
8, 27, 64; alle dazwischen liegenden Zah 
len sind keine Cuben, so z. B. existirt 
keine Zahl, welche 3mal mit sich selbst 
multiplicirt die Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
9, 10 u. s. w. hervorbringt. Dagegen 
3 
kann man durch Decimalen der ]/ solcher 
Zahlen möglichst nahe kommen und da 
her nennt man eine Zahl von der die ]/ 
angegeben werden soll, aber nur nähe 
rungsweise angegeben werden kann, einen 
unvollständigen Cubus. 
Bd. I, pag. 242, No. 9 und 10 lehrt das 
Ausziehen der ]/ aus ganzen Zahlen, No. 11 
aus Decimalbrüchen auf elementarem 
Wege, No. 13 mit Hülfe von Logarithmen, 
No. 14 aus trigonometrischen Functionen, 
No. 15 bis 21 durch Reihen-Entwickelung 
3 
auch für andere Wurzeln als +. Von 
pag. 250 ab das Ausziehen aller Wurzeln 
aus Buchstabengröfsen und pag. 252 No. 6 
3 
das Ausziehen der ]/ aus unvollständigen 
Cuben von Buchstabengröfsen. 
Als Beispiel von näherungsweiser Auf- 
3 
findung der aus einem unvollständigen 
3 
Cubus von Zifferzahlen diene J/2. Es ist 
p2 nahe 1; l 3 = 1 
näher 1,2; 1,2 3 = 1,728 
näher 1,25; 1,25 3 = 1,953125 
näher 1,259; 1,259 3 = 1,995616979 
näher 1,2599; 1,2599 3 = 1,9998997 
näher 1,25992; 1,25992 3 = 1,999981 
näher 1,259021; 1,259921 3 = 1,999985 
Vergl. auch Art. Cubus, No. 2, III. 
2. Hat man aus einer Zahl die ]/ aus 
gezogen und sie geht auf, so ist jene 
Zahl ein vollständiger Cubus. Will man 
sich von der Richtigkeit der Rechnung 
überzeugen, so cubirt man die erhaltene 
+ und sie mufs bei richtiger Rechnung 
den zuerst gegebenen Cubus liefern. Die 
sogenannte Neunerprobe, von der schon 
Bel. I, pag. 28, Art. Addition No. 4 die 
Rede gewesen ist, führt schneller zum 
Ziel. Man nennt den Ueberschufs der 
Summe der Ziffern einer Zahl über 0, 9 
oder über ein Vielfaches von 9 die Pro 
bezahl und zu jeder Probezahl einer 
Wurzel gehört eine ganz bestimmte Pro 
bezahl ihres Cubus. Z. B. der Cubus von 
5 ist 125; die ]/ = 5 hat den Ueberschufs 
= 5 über 0, also die Probezahl 5; der Cu 
bus 125 hat die Summe der Ziffern 
= 1 + 2+ 5 = 8 also die Probezahl 8 und 
es gehört zur Probezahl 5 der ]/ die Pro 
bezahl 8 des Cubus. Eben so ist 6 3 = 216; 
die Probezahl der Wurzel ist = 6, die des 
Cubus = 0. 
Man erhält die Probezahlen, die natür 
lich von 0 bis 8 nur existiren, wie folgt: 
Wurzel, Probezahl; Cubus, Probezahl. 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
7 7 
8 8 
9 0 
1 1 
8 8 
27 0 
64 1 
125 8 
216 0 
343 1 
512 8 
729 0 
Die Wurzeln haben also alle Probe 
zahlen von 0 bis 8, die Cubi nur die Pro 
bezahlen 0, 1 und 8. 
Beispiele. 
Wurzel, Probezahl; Cubus, Probezahl. 
36 
0 
46656 
0 
145 
1 
3048625 
1 
317 
2 
31855013 
8 
723 
3 
377933067 
0 
643 
4 
265847707 
1 
194 
5 
7301384 
8 
681 
6 
315821241 
0 
358 
7 
45882712 
1 
584 
8 
199176704 
8 
Dafs auch mehrziffrige Zahlen dem Ge 
setz der einziffrigen Wurzeln folgen müs 
sen beweist sich folgendennaafsen: 
Jede noch so grofse Zahl kann zerlegt 
werden in 9 N + n wo n eine einziffrige 
Zahl oder = 0 ist. Nun ist 
(91V+n) 3 =9 3 -lV 3 +3.9 2 -lV 2 *n + 3«9A T -n 2 + n 3 
Ist mithin der Ueberschufs der Summe 
der Ziffern einer mehrziffrigen Zahl über 
ein Vielfaches von 9 = einer einziffrigen 
Zahl n, also auch = dem Ueberschufs die 
ser Zahl n über 0, so ist auch der Ueber 
schufs der Summe der Ziffern des Cubus 
jener mehi'ziffrigen Zahl über ein Viel 
faches von 9 = dem Ueberschufs der Zif 
fern des Cubus der einziffrigen Zahl n 
über ein Vielfaches von 9. 
3. Dieselbe Probe kann man mit Nutzen 
anwenden, um die Richtigkeit der Rech- 
3 
nung bei der Ausziehung der ]/ aus einem 
unvollkommenen Cubus zu prüfen z. B.