Curven. 
170 
Curven. 
ay + bx -f- c = 0 
liefert dieselbe Linie in Beziehung auf 
ihre Lage zu einer gegebenen anderen 
wie die Gl. 
b c 
y-\ x = 0 
a a 
Schreibt man diese Gl. allgemein: 
y + Ax + B — 0 
so ersieht man, dafs die gerade Linie be 
kannt ist, sobald die Zahlen A und B 
bekannt sind. Denn 
für x = 0 ist y = — B 
Jß 
und für y = 0 ist x — — 
Fig. 525. 
Soll man also die gerade Linie der vor 
stehenden Gl. gegen eine andere gegebene 
grade Linie XX' Fig. 525 bestimmen, und 
ist zugleich der Punkt C in XX' gegeben, 
in welcher beide Linien sich schneiden 
sollen, so hat man von C aus die Länge 
CD =^r- und die Ordinate DE = -- B auf- 
A 
zutragen und erhält die gesuchte Linie 
EF durch C. 
Es sind also zu Bestimmung einer ge 
raden Linie EF 2 Punkte (C und E) er 
forderlich, also so viele Punkte als Coef- 
ficienten zu bestimmen sind, wenn der 
von y = 1 gesetzt wird, oder so viele Punkte 
als die vollständige Gleichung Glieder 
hat weniger einem. 
Die Gleichung für den Kreis ist, der 
Coefficient von y = 1 gesetzt: 
y‘ 2 + ayx + bx 2 -f- cy + dx + e = 0 (1) 
Gesetzt nun, es wäre ein Punkt des 
Kreises gegen eine gerade Linie XX' der 
Art gegeben, dals in einem Abstande « 
vom Punkt C die rechtwinklige Ordinate 
— A ist, 
so hat man für x — a, y = A. 
Diese Werthe in die allgemeine Glei 
chung gesetzt, erhält man 
A 2 + nA X a + u 2 x b -f A • c + « • d + e = 0 (2) 
Subtrahirt man GL 1 von Gl. 2, so fällt 
e fort und man erhält eine Gleichung 
von nur 4 unbekannten Coefficienten 
a, b, c, d nämlich 
(A 2 — y 2 ) + (r<A — yx) a + (a 2 - x 2 ) b + (A — y) c + (« - x) d - 0 
(3) 
Kennt man nun einen 2ten Punkt des C die Ordinate = B ist und setzt diese 
Kreises, so dafs für den Abstand ß von Werthe in Gl. 3, so erhält man die Gl.: 
(A 2 - B 2 ) + («A-ßß) a + («2 - ß 2 ) b + (A - B) c + (« - ß) d = 0 (4) 
multiplicirt man Gl. 3 mit (« — /9), Gl. 4 der C. erhält man, wenn man die Ab- 
mit (« — x) und subtrahirt, so fällt « fort scissenlinie durch 2 der gegebenen Punkte 
und man erhält eine Gl. von nur 3 un- legt, wodurch die beiden zugehörigen Or- 
bekannten Coefficienten a, b, c u. s. w. dinaten = Null werden. 
Um also alle 5 unbekannten Coefficien 
ten der ursprünglichen Gl. finden und 
den Kreis construiren zu können, müssen 
5 Punkte desselben gegeben sein. Hieraus 
ist die Regel ersichtlich, dafs zu einer C. 
so viele geometrische Bestimmungsstücke 
gehören, als die für sie erforderliche voll 
ständige Gleichung Glieder hat weniger 
einem. Nach No. 4 ist diese Anzahl der 
Glieder für eine Gleichung vom wten 
Grade 
= ^ -f 1) (n -f- 2) 
daher die Anzahl der Bestimmungsstücke 
für eine Linie der nten Ordnung oder 
eine L. der (n — l)ten Classe 
= 4- (»+ 1) (» + 2) - 1 = 4n (» + 3). 
Erleichterungen für die Construction 
II. Linien der ersten Ordnung. 
1. Diese bestehen nach I. No. 2 nur in 
der einzigen geraden Linie. Die Co- 
ordinatengleichung für dieselbe ist No. 2 
mit Fig. 520 entwickelt. Es ist noch zu 
bemerken, dafs mit a und ß auch die 
Winkel auf der Plusseite wie Fig. 526 u. 
527 bezeichnet werden und dann hat man 
y = {x* 
e ) 
sin a 
sin (ß — «) 
(1) 
Für e = 0, d. h. wenn der Anfangspunkt 
der Abscissen in dem Durchschnittspunkt 
C beider Linien liegt 
sinn 
^ X sin (ß— ttj 
(2)