Curven. 
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Curven. 
Je gröfser x genommen -wird, desto 
kleiner werden die veränderlichen Glie 
der zur Rechten, weil diese sämmtlich x 
im Nenner haben, während die Zähler 
constant sind und für x = oo fallen die 
selben als 0 fort. Es ist demnach für 
x — OO 
“’ ~ ¿ b ± ^ “ 4a ° 1 (10) 
d. i. Formel 7 für den Fall, dafs d, e, 
f = 0 sind. 
Da die Seite rechts eine endliche Gröfse 
V V 
ist, so ist — = — nicht = 0, welches da- 
X 00 
her kommt, dafs y mit x = co, ebenfalls 
unendlich ist und dafs zugleich zwischen 
x = oo und y — oo ein endliches Verhält- 
nifs statt findet. 
Sämmtliche Curven der ersten Klasse 
zerfallen also in 3 Hauptgattungen, 
1. die, für welche die Wurzelgröfse 
6 2 — 4ac positiv ist, 
x a f 
2. die für welche sie negativ ist und 
3. die für welche sie Null ist. 
Hat 6 einen wirklichen Werth, ist also 
b nicht = 0, so ist es für den ersten Fall 
gleichgültig, ob c additiv oder subtractiv 
ist; in den beiden letzten Fällen mufs c 
additiv sein. Ist für die Gleichung 2, 
No. 2, wo die Abscissenlinie ein Durch 
messer ist, 6 = 0, so ist für den ersten 
Fall c subtractiv, für den zweiten Fall c 
additiv und für den dritten Fall c = 0. 
11. Die C. des zweiten Falles: b 2 <4ac 
unterscheiden sich dadurch, dafs für x — oo, 
y unmöglich wird, auffallend von den C. 
der beiden anderen Fälle; es kommt nun 
darauf an, den Unterschied der Curven 
des ersten und dritten Falles zu bestimmen. 
Geht man auf Gl. 9 zurück, so hat man, 
wenn zugleich die beiden ungleichen Or- 
dinaten mit y und y' bezeichnet werden: 
1. Für b>4ac 
2bd — 4 ae d 2 — 4 af 
x x 2 
2. Für 6 = 4«c 
y~y v _ 1 I / 26d - 4ae d 2 - 4 af 
x ~ a \ x + x 2 (12) 
In dem ersten Fall, wo die beiden letz 
ten Glieder der Wurzelgröfse für x—x, 
verschwinden, ist 
y — y l : x = \/b 2 ~ 4«c : a 
In dem zweiten Fall ist 
. i /¡2bd — 4ae d 2 — 4tfA 
-+—H" 
2bd — 4 ae d z — 4a f\ 
+ ö ~) : a 
x x 2 / 
In dem ersten Fall, für 6 > 4ac, steht 
also die Differenz beider unendlichen Or 
dinateli mit der unendlichen Abscisse in 
einem endlichen Verhältnifs 
]/b 2 — 4«c : a 
In dem zweiten Fall, für 6 = 4ucsteht 
die Differenz beider unendlichen Ordina 
teli mit der unendlichen Abscisse in einem 
unendlichen Verhältnifs. Denn 'fes ist 
]/(2bd — 4ae)x -f (d 2 — 4af) : ax 
Gegen das unendliche erste Glied der Wurzelgröfse verschwindet das endliche 
zweite Glied, und es ist das Verhältnifs 
y — y l \ x — ]/(2bd — 4ae) x : ax — ]/(26d — 4ae) :«]/«= 1 : ■ a ]/x = 1 : oo 
]/2bd — 4ae 
12. Es kommt nun darauf an, die 3 
Gattungen der Curven erster Klasse nä 
herkennen zu lernen, und dies geschieht 
am geeignetsten, wenn man die allge 
meine Gleichung für dieselben dergestalt 
einschränkt, dafs für jede beliebige Ab 
scisse x eine mögliche Ordinate existirt. 
Demnach ist nach No. 4 in Gl. 1 zunächst 
f — 0 zu setzen, und man hat die Gl.: 
ay 2 -f- byx 4 cx 2 4 dy 4 ex = 0 (13) 
Sämmtliche 3 Gattungen der Curve 
haben nach No. 2 die gemeinschaftliche 
Eigenschaft, für 6 = 0 und d = 0 in der 
Abscissenlinie einen Durchmesser zu be 
sitzen und man hat daher die eingeschränk 
tere Gleichung 
ciy 2 4 cx 2 4c* = 0 (14) 
so dafs für jedes x (mit Ausnahme von 
x = 0 und von x = —-, s. No. 5) zwei 
gleiche aber entgegengesetzte Ordinateli 
entstehen, und zwar ist 
1 / cx 2 4 ex 
,j=*y—±_. 
Für c = 0 wird nun y = ± y —^—x 
und da a immer positiv ist, so existiren