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Curven. 
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Curven. 
für die Gleichung 14 bei c— 0 für ein 
positives e nur Ordinaten für negative 
Abscissen. Damit diese Einschränkung 
nicht statt finde, soll das Glied ex in 
Gl. 14 subtractiv gesetzt werden und man 
hat die Gl. 
ay 2 -f- ca; 2 — ea; = 0 (15) 
Ist nun (1. Fall) b 2 > 4«c; also 0 > 4ac 
so ist c subtractiv, und die Gleichung 
dafür ist 
I. ay 2 — cx 2 — ex — 0 (16) 
Ist (2. Fall) 6 2 <4ac- also0<4rtc 
so ist c additiv und die Gleichung da 
für ist 
II. ay 3 + cx 2 — ex = 0 (17) 
Ist (3. Fall) /< 2 = 4ac; also 0 = 4ac 
so ist c = 0 und die Gleichung dafür ist 
III. ay 2 — ex — 0 (18) 
Da nach I. No. 16 eine C. dieselbe bleibt, 
wenn deren Gleichung durch eine con- 
stante Zahl multiplicirt oder dividirt wird, 
so hat man durch a dividirt, y entwickelt, 
und wenn man — mit A und — mit B 
a a 
bezeichnet 
I. Für ¿ 2 >4ac 
y 3 = Ax -f Bx 2 (19) 
II. Für b 2 < 4ac 
y 2 = Ax — Bx 3 (20) 
III. Für 6 2 = 4ac 
y 2 — Ax (21) 
wobei zu bemerken, (s. No. 9), dafs A 
eine Linie und B eine abstracte Zahl be 
deutet. 
13. Die beiden Curven I und III haben 
für eine unendliche Abscisse 2 unendliche 
Ordinaten, die C. II. hat für eine unend 
liche Abscisse unmögliche Ordinaten, und 
da eine C. nie aufhört, so mufs die C. II. 
Rückkehrungen machen (s. I. No. 10.) 
Nun ist für y = 0, x entweder = 0 oder = —; 
es existirt also nur für 2 bestimmte 
Werthe von x ein einziger Werth und 
zwar = 0 für y; ferner hat für alle übri 
gen Werthe von x, jedes y zwei und 
nicht mehr als zwei Werthe, mithin kann 
die C. nur eine Umkehrung machen und 
die C. II. mufs eine geschlossene C. sein, 
von welcher zugleich — der Durchmes 
ser ist. 
Um diese geschlossene C. näher zu un 
tersuchen, setzt man 
A 
X ' ~ B x 
so dafs die Abscisse x, am zweiten Null 
punkt von y anfängt und der ersten Ab 
scisse x entgegengeht. Dann erhält man 
woraus 
20 2 = Ax, - Bx, 2 
Es ist mithin die geschlossene C. von 
beiden Endpunkten ab symmetrisch und 
t/in der Mitte ein Maximum, nämlich für 
A 
X ~ X '~2B 
oder für die Gleichung 
woraus 
±~a_ ]/ A * 
J ~ 2 VB l V B 
Es ist demnach die C. II. eine Ellipse, 
A A 
— und —ß sind bei rechtwinkligen Co- 
B J B 
ordinaten deren Axen. Ist B > 1 so 
A A 
ist — die grofse, — die kleine Axe; 
ist B < 1 so ist — die grofse und ~- 
die kleine Axe; für B = 1 sind beide 
Axen gleich grofs und die C. ist ein Kreis 
und IV ; y 2 = Ax — x 2 (22) 
14. Setzt man in die Formeln I bis IV 
(19 bis 22) (— x) für x, so entsteht 
I. 
y, 2 = — Ax, + Ra;, 2 
woraus 
20 
= ± | — A x, + Bx t 2 
II. 
y, 2 = - Ax x — Bx, 2 
woraus 
2/1 
= ± ]/— Ax, — Bx, 2 
III. 
x 2 = — Ax 
woraus 
2/. 
— rí: J Ax x 
IV. 
2/1 2 — — Ax, - x, 2 
woraus 
2/ ! 
= i- \! Ax, — x, 2 
Gleichung I. ist also die einzige der 4 
Gleichungen, in welcher y einen reellen 
Werth erhält. 
Für x = —„ , also für den negativen 
b 
Werth der Ellipsenaxe wird y — 0 und 
die Abscissenlinie schneidet die C. Sonst 
hat die Abscissenlinie mit der C. keinen 
Durchschnittspunkt weiter. 
Setzt man in den beiden Gleichungen I, 
?/i — y> so erhält man 
Ax -j- Bx 2 — — Ax, + Bx, 2 
oder {x, 2 — x 2 ) B — (a;, -fi x) A — 0 
oder (a;, — x) B — A = 0 
, A 
woraus x t =x-f- 
so dafs nach der entgegengesetzten Rich 
tung der x von der constanten Länge 
yl 
— ab dieselbe C. wie für die positiven 
B 
x, aber nach entgegengesetzter Richtung 
der positiv gelegenen C. beginnt, eine