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19. Setzt nxan in Gleichung 29 bis 32 statt J den Werth (90° —ß) so erhält 
man Coordinatengleichungen für eine beliebige Abscisseulinie und Ordinaten die 
normal den Axen der Kegelschnitte sind. 
I. Für die Parabel. 
z 2 - 2sinß’ zu-\-sin 2 ß• u 2 -2gsinß-z-\-(2gsinßß+Acosß)u-\-g 2 si?i 2 ß—A(p—gcosß) =0 (41) 
II. Für die Hyperbel. 
z 2 -2sin ß- zu -f (sin 2 ß—B cos 2 ß)u 2 — 2gsinß *z + \2gsin 2 ß+A cos ß-\-2Bcosß(p—g cos/?)]u 
■V g 2 sin 2 ß — A(p — g cos ß) — B (p - g cos ß) 2 = 0 (42) 
III. Für die Ellipse. 
z 2 — 2sinß- zu -f (sin 2 ß-\- B cos 2 ß) u 2 — 2g sinß-z + \2g sin 2 ßß-A cosß—2B cos ß (p—g cos /9)] u 
g 2 sin 2 ß — A(p — g cos ß)-\- B (p — g cos ß) 2 = 0 (43) 
IV. Für den Kreis. 
z 2 -2sinß-zu-\-u 2 —2gsinß'Z-\-\_2g-\-(A—2p)cosß~\u-{-g 2 sin 2 ß—A(p— gcosß)i (p-gcosß) 2 =0 (44) 
20. Setzt man in die Gleichungen 37 bis 40 den Werth 90° für J, so erhält 
man die rechtwinkligen Coordinatengleichungen für die Kegelschnitte, wenn die 
Abscisseulinie mit den Axen in der Entfernung A +läuft. 
I. Für die Parabel. 
z 2 + 2hz + Au-A(p-g) + h? = 0 (45) 
II. Für die Hyperbel. 
z 2 — Bu 2 -f 2ht -f [A + 2B (p — #)] u — A (p — g) — B (p — g) 2 -f h 2 = 0 (46) 
III. Für die Ellips e. 
z 2 + Bu 2 4- 2hz + [A — 2B (p — g)]u — A(p — g)-\- B 2 (p — g) 2 + h 2 = 0 (47) 
IV. Für den Kreis. 
z 2 + M* + 2hz + [A - 2 (p - g)]u - A (p - g) + (p - g) 2 + k 2 = 0 (48) 
21. Setzt man in die Gleichungen 33 gelschnitte , wenn deren Axen die Abscis- 
bis 36 den Werth 90° für J, oder in die 
Gleichungen 41 bis 44 für ß den Werth 
= 0, oder in die Gleichungen 45 bis 48 
für h — 0, so erhält man die rechtwink 
ligen Coordinatengleichungen für die Ke- 
senlinien sind und bei dem Anfangspunkt 
A in der Entfernung p vom Scheitel. 
I. Für die Parabel. 
z 2 + Au - A (p - g) 
II. Für die Hyperbel. 
z 2 - Bu 2 + [A + 2B (p — g)] u — A (p — g) — B {p — g) 2 = 0 
III. Für die Ellipse. 
z 2 + Bu 2 + [A-2B (p - g)]u-A(p-g) + B (p - g) 2 = 0 
IV. Für den Kreis. 
z 2 + u 2 + [A - 2 (p - g)] u - A (p - g) + (p - g) 2 = 0 
(49) 
(50) 
(51) 
(52) 
22. Setzt man in diese letzten 4 Glei 
chungen für u den Werth (p — g — «) so 
erhält man (vergl. Gl. 19 bis 22): 
I. Für die Parabel. 
z 2 — Au = 0 
II. Für die Hyperbel. 
z 2 — Au — Bu 2 — 0 
III. Für die Ellipse. 
IV. Für den Kreis. 
23. Aus den Gleichungen 29 bis 56 
ist nun die Bedeutung der Coefficienten 
in der allgemeinen Coordinatengleichung 
für die Kegelschnitte 
az 2 + bzu + cu 2 + dz + eu -f- f = 0 
zu ermitteln. 
I. Der Coefficient a von z 2 ist allein 
abhängig von dem Winkel zwischen den 
Ordinaten und der Axe des Kegelschnitts, 
indem (ß -f~ rf) als Aufsenwinkel von ß 
und â jenen Winkel jederzeit mifst (s. 
Gl. 29 bis 40). Ist dieser Winkel = 90° 
so ist a — 1 (s. Gl. 41 bis 52). Bei dem 
Kreise ist a jederzeit = 1, weil jeder