Curvenlehre, 
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Curvenlehre. 
= - 5,957 + 40,368 = + 34,411 
wie bei der ersten Hyperbel. 
Es ist dieses Beispiel deshalb so com- 
plicirt gewählt und so sorgfältig durch- 
genominen worden, damit die vorgetra 
genen Gesetze über die Natur der Cur- 
ven erster Klasse als allgemein gültig 
erkannt werden. 
IV. Linien dritter und höherer 
Ordnungen oderCurven zweiter 
und höherer Klassen. 
Diese Curven finden wenig Anwendung, 
sie sind ihrer verschiedenen zusammen 
gehörigen Eigenschaften w r egen ebenfalls 
in Gattungen zu bringen und haben For 
men der mannichfachsten Art, und um so 
mannichfacher je höher deren Ordnung 
ist. Die I, No. 12 betrachtete Cissoide 
ist eine Linie der dritten Ordnung, die 
Konchoide No. 13 ist eine Linie der vier 
ten Ordnung. 
Unter Familie von Curven versteht 
man die Summe der Curven, von denen 
jede einer anderen Ordnung angehört, 
deren Gleichungen aber allen der Form 
nach eine und dieselbe allgemeine Glei 
chung zu Grunde liegt. 
So z. B. drückt die Gleichung 
= ax' 1 
eine Familie aus zu welcher die Glei 
chungen gehören 
y 2 — ax 
y 3 — ax 3 
y 4 = ax z u. s. w. 
Die bekannteren Curven und deren 
Kenntnifs verlangt wird, als der Kreis, 
die Parabel, die Hyperbel, die Ellipse, die 
Konchoide, die Neoide, die Evolvente, die 
Cycloide, dieEpicycloide, dieHypocycloide, 
die logarithmische Linie, die Spirallinien 
u. s. w. werden in diesem Wörterbuche 
ihre Artikel haben. 
Curvenlehre, auch höhere Geome 
trie genannt, eine höhere Disciplin der 
Geometrie, ist die Lehre von denjenigen 
krummen Linien, (Curven) die nach 
irgend einem Gesetz gebildet sind, von 
deren Eigenschaften und von den Flä 
chen und Körpern, die aus ihnen durch 
Construction hervorgehen können; wäh 
rend die niedere Geometrie nur gerade 
und Kreislinien und die aus ihnen her 
vorgehenden Flächen und Körper zum Ge 
genstände ihrer Untersuchung macht. 
Auch wie die niedere Geometrie hat diese 
höhere G. ihren synthetischen und ihren 
analytischen Theil. Die Ableitung des 
Verhältnisses zwischen den Abscissen und 
Ordinaten der Kegelschnitte im Art. Brenn 
punkte der K. kann als synthetisch an- 
f esehen werden, die Entwickelung der 
ormen der Curven im vorigen Art. ist 
nur analytisch. Die hörere G. hat dem 
Obigen nach auch ihre Longimetrie, ihre 
Planimetrie und ihre Stereometrie. 
Der erste Theil der C., die Kenntnifs 
der Curven selbst, eine eigentliche Cur- 
vagraphie ist in dem vor. Art. im All 
gemeinen und aus dem Gesichtspunkt 
gegeben, dafs so viele Curven existiren 
als man Gleichungen aufzustellen beliebt. 
Diejenigen bekannteren Curven, deren 
speciell nicht Erwähnung geschehen, wer 
den in dem Wörterbuch ihre Artikel fin 
den. Der zweite Theil der hier noch ab 
zuhandelnden C. besteht in den Aufgaben, 
deren Lösung erforderlich ist, um mit 
den Curven rechnungsweise verfahren zu 
können, also in einer eigentlichen alge 
braischen C. 
I. Bestimmung der Tangenten an 
Curven. 
Tangente oder berührende gerade 
Linie in irgend einem Punkt der Curve 
heifst diejenige gerade Linie, welche durch 
diesen Punkt hindurch geht und mit der 
Curve diesen einzigen Punkt nur gemein 
hat, so dafs keine zweite gerade Linie 
zwischen ihr und der Curve durch den 
selben Punkt gezogen werden kann, ohne 
dafs diese die C. in 2 Punkten schnei 
det (vergi. Bd. 1, Art. berührende gerade 
Linie mit Füg. 204). 
Ist BT die Tangente an der Curve FG 
in B, so kann das Curven-Element in B 
zugleich als das Element einer Kreispe 
ripherie angesehen werden, deren Halb 
messer in der normal auf TB in B ge 
zogenen geraden Linie BN liegt, und da 
jeder Halbmesser auf dem von ihm be 
rührten Kreiselement normal steht, so 
steht auch die im Berührungspunkt nor 
mal auf der Tangente befindliche Linie 
normal auf dem Curvenelement. 
Sind T und N die Durchschnittspunkte 
der beiden genannten Linien mit der Ab- 
scissenlinie XX', BD die rechtwinklige 
Ordinate für den Punkt B, so heifst fin 
den Punkt B : 
Die Länge der berührenden Linie BT 
zwischen dem Berührungspunkt B und 
der Abscissenlinie die Tangente. 
Die Länge der normal auf BT in B 
befindlichen Linie BN zwischen dem Be 
rührungspunkt B und der Abscissenlinie 
die Normale. 
Die normale Projection TD der Tan 
gente BT auf der Abscissenlinie die Sub 
tangente und 
Die normale Projection ND der Nor-