Curvenlehre. 
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Curvenlehre. 
I. r — ± 
II. 
1 + 
ew 
*/* 
8a; 2 
1 + 
(ff)’ 
9j/ 
8 2 i/\ dx 
l^y\ 
\dxV 
i + 
111. b = y + 
(djv 
\dx/ 
d?y 
8*2 
(9) 
(10) 
(H) 
Ueber das Vorzeichen von r ist zu be 
merken, dafs das positive Zeichen die 
Lage r von B aus nach BF hin, das ne 
gative die Lage r über B hinaus in der 
Verlängerung von FB bedeutet. Erste- 
res findet bei einer hohlen, letzteres bei 
der erhabenen Curve statt. Da nun bei 
der hohlen Curve das zweite Differenzial 
immer subtractiv, bei der erhabenen C. 
immer additiv ist (vergl. den Art. con 
vex und concav), so ist das Vorzeichen 
von r mit dem Vorzeichen des zweiten 
Differenzials von y übereinstimmend. 
Beispiel. Die Parabel. Anfangs 
punkt der Abscissen im Scheitel, Abscis- 
senlinie die Axe; Gl. y 2 = px. 
Es ist also ~ - - P- 
ox 2x 2y 
_ _ .JP_ _ _ f _ _ J_ 
8a; 2 ixy 4y 3 4 a; 2 
hieraus 
_ (4a; + pf/t _ (4a; 2 + pxf/i. 
2 Lp 2 xy 
4a; 2 -f y 2 
a-x —- = 3a; + 4p 
. 4a; 2 -)- ;/ 2 4 a; 2 
b = y + — 
-y V 
III. Bestimmung der Curve der 
Mittel punkte. 
Jeder Punkt einer Curve hat seinen 
besonderen Krümmungskreis, und jeder 
derselben seinen Mittelpunkt. Diejenige 
krumme Linie, in welcher die Mittelpunkte 
aller Krümmungskreise einer Curve lie 
gen, heilst Curve der Mittelpunkte, 
auch die Evolute der gegebenen Curve, 
so wie diese wieder die Evolvente der 
Mittelpunktscurve heilst. 
Bei der No. II. gegebenen Coordinaten- 
gleichung y = <i x ist die für dieselbe Ab- 
scissenlinie und denselben Anfangspunkt 
der Abscissen a die Abscisse und b die 
Ordinate des Mittelpunkts von dem zu 
dem Punkt B derselben Coordinaten x 
und y gehörenden Krümmungskreise. Ist 
daher eine Evolvente JBK durch eine 
rechtwinklige Coordinatengleichung y — qx 
gegeben und man soll die Evolute finden, 
so nehme man die Gleichungen 
n 1 +(!!)’ 8 
8ly 
8a; 2 
f>y 
Bx 
III. 
b = y + 
Substituiré in beide Gleichungen y 
und dessen Differenziale aus der gege 
benen Function y — qx, eliminire y so 
werden a und b nur durch x ausgedrückt. 
Eliminirt man dann x aus beiden Glei 
chungen, so erhält man eine Gleichung 
zwischen a und b, welche die verlangte ist. 
Beispiel. Die Coordinatengleichung 
für die Parabel ist 
iß = q:x — py 
Verfährt man nun so wie in dem Bei 
spiel ad II. so erhält man wie dort 
a = 3a; + \p 
^ _ 4a; 2 _ 4a: 2 
y Vp* 
x aus beiden Gleichungen entwickelt und 
die Werthe einander gleich gesetzt, ent 
steht: 
b*p_ (,a - \pf 
16 27 
woraus die verlangte Gleichung für die 
Evolute 
b 2 - 16 ( q ~ ^P) 3 
27 p 
IV. Bestimmung, ob und wo die 
Curve einen Wendungspunkt oder 
einen Rückkehrpunkt hat. 
Der Wendungspunkt, in welchem 
eine Curve aus der convexen in die con- 
cave Form übergeht, macht sich in der 
Formel oder Gleichung dadurch kennt 
lich, dafs der Krümmungshalbmesser für 
diesen Punkt ± » wird, weil hier das 
Element der Curve geradlinig ist. Allein 
dieses Zeichen ist nicht genügend: es 
gilt auch für eine Spitze, einen Rück- 
kehrpunkt, demnach muís noch ein 
zweites Zeichen hinzutreten und dies ist, 
dafs bei einem Wendungspunkt rechts 
und links von dessen Ordinate die Or- 
dinaten mögliche Gröfsen sind, während 
bei dem Rückkehrpunkt eine von beiden 
Ordinaten unmöglich wird. 
I. Beispiel. Die Cissoide, pag. 
165, Fig. 521 hat die Gleichung 
xy 2 -f a: 3 — ay 2 = 0 
diese differenzirt gibt