Centralkräfte. 
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Centralkräfte. 
von C bleibt, so hat man eine constante 
Kraft P zu finden, die in dem Abstande 
r verbleibend, die Masse m in der Zeit 
t durch denselben Weg führt, durch den 
die veränderlichen Kräfte von der klein- 
p 
sten F bis zur gröfsten r- nach und 
cos 2 <p 
nach innerhalb der Zeit t einwirkend, die 
Masse m geführt haben. Diese Kraft P 
vergleicht sich mit den Kräften P' und 
P" wie 
PP P' 
_. z . ... — p. p>. pi> 
9 " r 2 ' r 2 cos 2 cp 
ist offenbar gröfser als P' und 
als P"; deren Beschleunigung 
und P 
kleiner 
p 
ist g — und der Weg der Masse m in 
der Zeit t 
= gt 2 — = DF = 
u m 
Sehne DK 2 
2 r 
P 
die Beschleunigung der durch sie beweg 
ten Masse 
P__ 
^ m 2 r 
und die Geschwindigkeit in der Bahn 
H ( 2 * r -v) 
Mit der Centripetalkraft P ist nun nicht 
zugleich die in der Zeit l nach der Tan 
gente den Weg DG erzeugende Centri- 
fu galkraft gefunden, wohl aber die in 
die Richtung CD fallende Seitenkraft der 
selben. Denn zerlegt man den Weg DG 
Fig. 285. 
Man hat also 
„ P Sehne DE 2 , 
gt 2 — < —— < gt 2 , 
m 2r m cos i (p 
oder 
„ Sehne DE 2 P 
P < 5—- m < ¡5- 
2grr cos i (p 
Nun kann aber die Differenz 
— F -P=p\- 1 - ll 
cos *ip Ll — siu *(p J 
der äufseren Glieder mit beliebiger Ab 
nahme von (p beliebig klein werden. Kennt 
man daher eine Constante, gegen welche 
i -muj. i r i Se hne DE 2 
das Mittelglied —2gr~t 2 — m mit beliebi 
ger Abnahme von tp ebenfalls beliebig 
klein werden kann, so ist diese = P. Nun 
sind aber in diesem Mittelgliede Sehne 
DE und t die einzigen Veränderlichen; 
mit der Abnahme von <p nimmt t ab, 
und die Sehne wird dem Kreisbogen be 
liebig nahe gebracht. Es hat aber die 
Masse m durch den in D empfangenen 
Impuls die Länge DG gleichförmig durch 
laufen, und wenn die Zeit t der Bewegung 
sehr klein war, so bestand der Weg in 
dem an D befindlichen Element der Tan 
gente, welche mit dem des Bogens zu 
sammenfällt; es ist also das erste Bogen 
element gleichförmig durchlaufen, und 
geschieht dies in allen folgenden Bogen 
elementen, mit welchen die ersten Ele 
mente der folgenden Tangenten ebenfalls 
zusammenfallen; daher wird der Bogen 
DE in der Zeit t gleichförmig durchlau 
fen, und derselbe ist also, wenn man mit 
v die Geschwindigkeit per Secunde be 
zeichnet^«, mithin ist die Centripetalkraft 
v 2 1 2 v* 
P = ——^ m=-—m 
2 grt 2 2 gr 
nach den Seitenrichtungen CD und DE, 
den einzig möglichen, so geschieht dies 
durch das rft DEGB. DE ist die Länge 
des einen, DB die des anderen Seiten 
weges. Nun ist DB = EG = DF = dem 
Wege, den die Centripetalkraft veranlafst. 
Wenn aber durch zwei Kräfte in gleichen 
Zeiten, gleiche Massen durch gleiche Wege 
geführt werden, so sind die Kräfte ein 
ander gleich, mithin ist die Centri 
petalkraft gleich der in dieselbe 
Richtung fallenden Seitenkraft 
der Centrifugalkraft: Oder vielmehr 
wenn man die nach der Tangente wir 
kende Kraft allgemein Tangentialkraft 
nennt, so ist deren nach dem Mittelpunkt 
des Kreises gerichtete Seitenkraft aus- 
schliefslich diejenige, welche in dem System 
als das Centrum direct fliehende Kraft, 
als Centrifugalkraft auftritt, und die Cen 
tripetalkraft ist gleich der Cen- 
trifugalkr aft. 
Beide gleich grofsen Kräfte in einerlei 
geraden Linie heben sich einander auf, 
und es bleibt nur die nach der Sehne 
DE wirkende Kraft übrig, eine Seitenkraft 
des ursprünglichen Impulses, die wie die 
ser selbst gleichförmige Bewegung ver 
anlafst. 
Beide in der Zeit t zu durchlaufenden 
Wege DF und DB sind einander gleich 
und entgegensetzt; es wird also keiner 
von beiden durchlaufen, und nur der Weg