Differenzial. 
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Differenzial. 
Der erste Factor des ersten Summand 
ist nun der Differenzenquotient der Ver 
änderlichen v, indem z + A 2 constant ge 
nommen wird, und der erste Factor des 
zweiten Summand der Differenzenquotient 
der Veränderlichen 2, indem u constant 
gesetzt ist. 
Mit der beliebigen Abnahme von A x 
nehmen A w und As beliebig ab, der erste 
Differenzenquotient für die Abnahme von 
Au wird also zum Differenzial der Func 
tion F(u, z + As), welchen Werth auch 
z + As haben möge. Da aber mit A x 
auch As beliebig abnimmt, so nähert 
sich mit diesen Abnahmen die Gröfse 
s + As ihrem Grenzwerthe z. Man hat 
also, um den Grenzwerth des ersten 
Factors zu bestimmen, die Function 
F(m, 2 + As) nach u als Urvariablen zu 
differenziren, wobei 2 +As als constant 
betrachtet wird und in dem Resultat 
As = 0 zu setzen. Da es aber gleichgül 
tig ist, ob man erst nach u differenzirt 
und dann As = 0 setzt oder erst As = 0 
setzt und dann nach u differenzirt, weil 
nämlich z und A s bei der Operation des 
Differenzirens nach v wie Gonstanten be 
handelt werden, so erhält man als Grenz- 
w'erth des ersten Factors im ersten Sum 
mand das Differenzial 
ö y _ 8 F(m, z) 
/\ u 
der Grenzwerth des zweiten Factors -— 
A x 
Qu 
ist das D. von u in Beziehung auf x = g— 
und folglich wird der erste Summand 
0 F (w, 2) 9 m _ Qy 0 m 
9 m 9 a; Qu Qx 
Eben so ist der erste Factor des zwei 
ten Summand der Zuwachsquotient der 
Function F(u, z) wenn 2 variabel und u 
constant ist, dessen Grenzwerth das D. 
dieser Function 
9 F(m, z) _ Qy 
9 z 9z 
und der Grenzwerth des zweiten Factors 
_ 9z 
9a: ’ 
mithin der Grenzwerth des zwei 
ten Summand: 
_Qy 
also 
9z 
■ 9» 
9a: ^ 9z 
9_z 
9 a: 
0 z 
(2) 
3 Ver- 
0M 
0 1 
Ist zweitens die Function 
änderlichen abhängig, 
oder y = F(u, 2,15) 
so hat man die zusammengehörigen Aen 
derungen 
* + Aa:, y + Ay, * + A*> » + A» 
Also A 1/ = F(m + A») z + As, ® + A«) — F(m, z, v) 
= F(m+A«, z-f A &,® + A®) 
woraus der Zuwachsquotient 
F(m + Am, z + A*, « + A®) - F(11, z, ■ 
A x 
und das gesuchte D. von y ist der Grenz 
werth dieser Summe, also die Summe 
der Grenzwerthe beider Summanden für 
die beliebige Abnahme von A-®- 
Nun ist der erste Summand der Zu 
wachsquotient der Function F(m, z, ® + A®), 
wenn m und z sich ändern, c + A® aber 
constant ist. Man kann daher den Grenz 
werth dieses Summanden nach dem eben 
geführten Beweis bestimmen; da nun 
v -f A® wie constant sich verhält und in 
8F(«, Z, v) _ 0F(M, 2, V) ' 0M 0 
9 a: 9 M 0a: 
In dem zweiten Summand sind u und 
z als constant betrachtet und nur v ist 
veränderlich; dieser Summand ist also 
der Zuwachsquotient der Function y in 
welcher v die Variable ist. Setzt man 
-F(m, 2,15 + A®) + F(m, 2,15 +A®) -F(m, 2,15) 
13 + A®) F(m, z, 15 + A®) — F(m, z, i:) 
+ Tx 
beiden Gliedern des Zuwachses mit dem 
selben Werth v + A® vorkommt, so hat 
diese Gröfse auf das D. nach u und i> 
keinen Einflufs. Da aber mit beliebiger 
Abnahme von A x auch A® beliebig ab 
nimmt und 15+ A® seinen Grenzwerth v 
erhält, indem A® = 0 wird, so kann man 
eben so gut vor wie nach dem Differen 
ziren A» = 0 setzen und man hat den 
Grenzwerth des ersten Summanden 
? (tt, 2,15) 0z 01/ Qu Qy 0Z 
0 2 Qx 0,w 0a: 8z Qx 
diesem noch den Factor hinzu, so er- 
A® 
hält man ihn: 
F(m, z, 15 + A®) — F(m, z, ®) A® 
A® A«