Differenzial.
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Differenzial.
9 y _
Setzt man alle diese Werthe in die Differenzialgleichung so erhält man:
da;
= («a?" -f by • ln («' -f c) • msin m — 1 x • cos x -f- sin"• x ln (a v -\-c)})nax n —l (ax "-\-by~
+ sin m x • (ax " -f- b)P.
(ux" -f b)i‘ 1 sin— 1 a? (ax" + b) (a- 1 ' -f- c) cos x -J- pna a?"— 1 ln (a x ‘ + c) sin x
a x:
a c + c
ln a
+ (aa?" + 6)
<1*+ c
sin x ln aj
45. Wenn man die Differenziale einer
Function in Beziehung auf einte Verän
derliche so nimmt, als wenn die anderen
Veränderlichen constant wären, so nennt
man diese D. Theil-D iffe re n ziale
oder Partial-Differenziale der Func
tion. Nimmt man dagegen das D. in Be
ziehung auf die gemeinschaftliche Urver-
änderliche für alle in der Formel vorkom
menden Veränderlichen, so heifst das D.
Total-Differenzial oder Gesammt-
Differenzial.
In der No. 44 gegebenen Function
y = F («, v, w, z> .... x)
sind ^, 'jjp Partial-Differen-
OU 015 VW OS
ziale, weil in dem ersten v,w,z..., in
dem zweiten «, w, s ..., in dem dritten
u, 15, z,... und in dem vierten «, v, w ...
constant genommen sind. Dagegen ist
- das Gesammtdifferenzial, bei wel-
ax
ehern nach allen Veränderlichen u, v, ic, s
in Beziehung auf x als die Urveränder-
liche differenzirt ist.
Differenziale höherer Ordnungen.
46. Der Begriff und die Schreibweise
der höheren D. sind in No. 7 angegeben.
Ist y = x i die Function, so ist
8-= 4 *’
Vi= 3-4-**
2-3-4
9^2/_
9a: 4 “
2-3-4
Höhere D. sind für die Function y un
möglich weil eine constante Gröfse kein
D. hat. _
Die Bildung der höheren D. aus den
ihnen unmittelbar vorhergehenden D. ge
schieht wie die der ersten D. aus der
Function. Jedoch sind einige Entwicke
lungen von Formeln als Erleichterungs
mittel für die Auffindung der höheren
D. in speciellen Fällen und Regeln auf
zustellen erforderlich, die mit Beispielen
begleitet werden sollen.
II
Da man die höheren D. und deren
Grade in Beziehung auf die Function
nimmt, so mufs bei den Regeln und For
meln auch die Function selbst zu Grunde
gelegt werden. Denn wollte man von
dem zunächst vorherstehenden D. aus
gehen , so hätte man (von diesem D. näm
lich als Function) ein erstes D. und kein
höheres D. zu nehmen.
47. Besteht die Function aus einer al
gebraischen Summe von Veränderlichen
(No. 9), so erhält man als D. die alge
braische Summe der D. aller einzelnen
Glieder, als D. dieser Function also als
zweites D. wieder die algebr. Summe
der D. des ersten D. u. s. w. Es ist also
das höhere D. einer algebraischen Summe
von Veränderlichen = der algebraischen
Summe der höheren D. der Glieder, oder
wenn
y — fx H- <f x ± ipx ±
so ist
d"y
8a?"
9 "fx Q"(px
9a?" 8a?"
Ist y = 3a? 3 -f 4a? 2 + 5a? -f 1
9 v
so ist c\ = 9.x* 2 + 8.c + 5
ox
9 2 */_ i, T i «
0a? 2 — 18a? -f- 8
0 3 2/_ jo
0^~ 18
4,,
9« t/a?
rh - ±
9a?"
?/_
9a? 4
= 0
Man kann aber auch schreiben
9 y 1 _ 0 2 (3a? 3 ) 9 2 (4a? 2 ) 0 2 (5a?) 0 2 (1)
0^2 ~ “ 0a- 2 + ~bx*~ + l)ä- 2_ + 0* 2_
worin die 2 letzten Glieder = 0 werden
und
9ln _ 9_ 2 (3-r 3 ) 0 2 (4a?2) _
0a? 2_ 0a? 2 + 0a? 2 - 18a; + 8
u. s. w.
48. Ist die Function ein Product von
2 Veränderlichen, so ergibt sich die Re
gel für die Bildung der D. höherer Ord
nungen aus Folgendem.
Es sei allgemein
y — u • ;
01/ 0} , 0M
soist 8i=“-Ü+“8*
18
(No. 11)
