8m 8a , „
= 2a;; Sr- = 36 a; 2
ox ox
und man hat
8 2 —
z
ö^-z- — [2 («4 6a; 3 ) 2 — 6 bx(a-\-bx 3 ) a; 2 — 2 (a 4- bx 3 )-3bx 2 » 2a;42a; 2 (36a; 2 ) 2 ] X . ^
ox* («+ bx 3 ) 3
d z 2 (a 2 - 7abx 3 4 6 2 a; 6 ) nach No. 13, so hat man
oderreducirt -g^-= 9 «
Nimmt man u und z in x ausgedrückt i__ (<*46a: 3 ) 2a; x 2 • 36 a; 2 __ 2aa — 6a; 4
, A . , 8ar (a 4 ¿* 3 ) 2 («4 6a; 3 ) 2
a 4 6a; 3 und wieder dmerenzirt, gibt
s _ (a 4 6a; 3 ) 2 X (2m — 46a; 3 ) — (2ax — 6a? 4 ) X 2 (m 4 bx 3 ) • 3bx 2
8a- 2 (a 4 bx 3 )*
und reducirt
2 (a 2
labx 3 4 b 2 x 6 )
(.a 4 bx 3 ) 3
Die Formeln für die folgenden höheren
D. gewähren noch weniger Vortheile ge
gen eine directe zweimalige Differenzi-
rung.
50. Dio höheren D. von Potenzen mit
constantem Exponent sind am einfachsten
herzuleiten wie schon No. 46 angegeben
ist. Ist die Wurzel Function einer ande
ren Veränderlichen, so hat man
8s" 82
==
8a; 8a;
8 2 a” ~ ( „ 81
8 2 a" _ / 8 a\
~Kt 2 ~ W" 8®)
und dieses D. rnufs nach No. 11 bestimmt
werden, wenn man bei gegebener Func
tion z nicht die directe Herleitung von
8 2 a = 3 2 (f x vorzieht. Nach N0. 11 hat man
oder
8 a\
8 2 a
82
8a;)
= M2” 1 y—j + M (M -
d*z"
J 8 2 2 ,
82I
8a; 2
= M5 '№ +(n ~
8iJ
(0
Beispiel.
Es sei y = a 4 — (a 4 6a; 3 ) 4
8 z
so hat man 5— = 3 bx 2
ox
8 2 S CA
»S = 6i *
Nach der Formel ist, da n — 4 ist
- = 4 • («4 6a; 3 ) 2 [(m 4 bx 3 ) • Gbx 43* 36a; 2 ]
= 126a; (a 4 bx 3 ) 2 (2a 4 3a; 4 26a; 3 )
8 3
Differenzirt man zweimal hintereinan
der direct, so hat man
() V
= 4(« 4 6a; 3 ) 3 X 3 6a; = 12 6a; 2 (a 4 6a; 3 ) 3
12*6a; 2 »3(a46a; 3 ) 2 4(«46a; 3 ) 3 x2-12*6a;
= 12 • 6a;(«4 6a; 3 ) 2 (2«t 43.r 4 26a; 3 )
51. Differenzirt man Formel 1 noch
einmal, so erhält man
M2”— 1
dh
8a; 3 1 8a; 2
oder reducirt und geordnet
4 »(»
n • (m - 1) a«~ 2 ^ 4«(« — 1 ) z " -2 iz5 + • n ( n
8a; 2 8a;
8 3 a” , d :
~dx 3=n! ’"~ 8^3
l)(n- 2)a"— 3
dx
1>5 "- 2 15 (I* + 1) + »(« - I) <» - (||)'
Wird nach dieser Formel das 3te D. des Beispiels N0. 50 gebildet, so erhält
8 3 a .
man, da y 3 - 66 ist
