Differenzialrechnung. 
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stimmte Werthe erhalten. Dafs in dem 
vorstehenden Beispiel mit dem Werthe a 
für x diese Unbestimmtheit eintritt, liegt 
darin, dafs der Ausdruck nicht in der 
einfachsten Gestalt gegeben ist, er ent 
hält nämlich im Zähler und Nenner die 
gleichen Factoren x — a, denn es ist 
x 2 — a 2 (x + a) (x — a) 
— = x a 
x — a x — a 
wenn man nun x — a setzt, so erhält 
man y = 2a. 
Bei algebraischen Functionen ist 
eine solche Umformung jederzeit mög 
lich; man hat nur nötliig, Zähler und 
Nenner durch einander zu dividiren und 
so zu verfahren wie bei der Aufsuchung 
des gröfsten gemeinschaftlichen Theilers 
zwischen 2 Zahlen, der dann auch in 
allen Fällen gefunden wird (vergl. No. 9). 
Bei transcendenten Functionen dagegen 
ist das Verfahren nicht anwendbar, z. B. 
die Function „—- , — erhält für a; = l 
1 — x -f logn x 
den unbestimmten Werth — und man 
ist nur im Stande mit Hülfe der Diffe 
renzialrechnung den wirklichen Werth 
der Function für x = 1 aufzufinden. 
Stellt man sich nämlich vor, der vor 
stehende transcendente Ausdruck als Func 
tion von x könne so umgeformt werden, 
dafs bei Einsetzung des Werthes 1 für x 
sein wirklicher Werth daraus entnommen 
werden kann, so ist der umgeformte Aus 
druck ebenfalls eine Function von x, und 
für jeden Werth von x der gegebenen 
Function gleich. Da nun die umgeformte 
Function für den Werth von x, bei wel 
chem die gegebene Function unbestimmt 
wird, einen bestimmten Werth annimmt, 
so ist dieser Werth der Grenzwerth der 
Function für den Fall, dafs die Urver- 
änderliche x dem zum Einsetzen gege 
benen Werthe sich beliebig . nähert und 
man hat also nur nöthig, diesen Grenz 
werth der gegebenen Function aufzusu 
chen um die erforderliche Umformung 
der Function zu erhalten. 
In dem ersten Beispiel ist x + a der 
umgeformte Ausdruck für die Auffindung 
des Werths der gegebenen Function für 
x = a, und es ist wirklich 2a die Grenze 
x 2 — a i 
von x + a also auch von — wenn x 
x — a 
dem Werthe a sich beliebig nähert. 
2. Die vorstehende Betrachtung führt 
also zu folgendem allgemeinen Verfahren: 
f X 
Es sei y-— 
(fX 
Differenzialrechnung. 
fx + Afx 
so ist yY&y , . 
<fX+/S'fX 
Für den Fall nun, dafs für x ein Werth 
a gesetzt wird, werde fx = 0 und ff x = 0 
so bleibt 
A (fx 
Zähler und Nenner durch A* dividirt 
gibt 
y + /Sy = - 
Mit der beliebigen Abnahme von A* 
nimmt auch Ay beliebig ab, und y + ¿Sy 
nähert sich seinem gesuchten Werthe y 
als Grenze. Folglich ist auch der rechts 
stehende Quotient bei beliebiger Abnahme 
von A* = dem Werthe y. Bei beliebiger 
Abnahme werden aber Zähler und Nen 
ner als Differenzenquotienten die Diffe 
renziale und es ist 
allerdings nur für den Werth a von x, 
für welchen fx und (¡x = 0 werden, aber 
wie verlangt wird. Demnach ist der Werth 
der Function für x = a, bei welchem sie 
als — erscheint = dem Differenzial des 
Zählers dividirt durch das D. des Nen 
ners, und hiernach für x der Werth a 
gesetzt. 
Bei dem ersten Beispiel y — — — 
hat man 
9 (x 2 — a 3 ) 2x 
- c. . r- = = ix, also für x—a ge- 
d(x — a) 1 6 
setzt y — 2a. 
Hat man y — ———, so erhält man 
x — a 
für x — a: 
4 x 3 
y ~~\ 
und x = a gesetzt y = 4« 3 
dividirt man Zähler und Nenner von y 
durch x — a, so erhält man 
y = x 3 + ax 2 + a 2 x -)- <x 3 
ein Ausdruck, der für x — a den Werth 
von y unmittelbar = 4a 3 angibt. 
3. Wenn der Factor (x — a), welcher 
für x = a, Null wird, in dem Zähler und 
dem Nenner mehrere Male vorkommt, 
so erhält man, nachdem differenzirt wor 
den , mit Einsetzung von a für x wie-. 
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